Спектральные характеристики непериодических сигналов

Выделим из непериодического сигнала x (t) (на рис. 7.4 показан сплошной кривой) «базовый импульс» xT (t), имеющий длительность Г, и введем в рассмотрение периодическую функцию времени.

На рис. 7.4 график этой функции показан пунктиром. Представим эту функцию в форме комплексного ряда Фурье (7.36).

Выполняя в (7.43) предельный переход, можно получить интегральное представление исходного (непериодического) сигнала.

где комплексная функция частоты G_x(со), называемая спектральной плотностью сигнала, связана с вещественной функцией времени х{?) соотношением

Примечание: при выполнении предельного перехода (Т —> °о) в формуле (7.43) происходят следующие трансформации обозначений:

x (t) — сигнал; x_T(t) — базовый импульс (часть сигнала длительности Т) x_n(t) — периодический сигнал периода Т

Соотношения (7.45) и (7.44) называются, соответственно, прямым и обратным преобразованиями Фурье сигнала x (t). Пользуются следующей условной формой записи этих преобразований:

Прямое преобразование Фурье (7.45) «переводит» вещественную функцию времени x (t) в комплексную функцию частоты G_x(со), сохраняя при этом взаимно однозначное соответствие этих функций, или, как иногда говорят, «переводит сигнал из временной плоскости в частотную плоскость». В результате появляется возможность оперировать не с формой сигнала x (t), а с его частотным образом G_x(со).

Такое (частотное) представление сигнала часто оказывается более компактным. Кроме того, упрощаются некоторые сложные математические операции с вещественным сигналом x (t). Например, дифференцирование «переводится» в умножение. Упрощается также расчет реакции y (t) линейного инерционного ИУ на детерминированный сигнал x (t) заданной формы (см. подпараграф 8.2.2).

Спектральную плотность сигнала G_x(cо) как комплексную функцию частоты со можно представить в виде.

где U_x(co), V_v(w) — соответственно вещественная и мнимая части спектральной плотности сигнала, которые можно вычислить по формулам.

G_r(co), cp_v(co) — соответственно амплитудная частотная и фазовая частотная функции детерминированного сигнала, называемые его амплитудным и фазовым спектрами. Эти функции частоты со вычисляются по формулам.

а их графики называются соответственно амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками сигнала.

Таким образом, измерительный сигнал (так же как и измерительное устройство) имеет частотные характеристики: амплитудно-частотную G_v(co) и фазо-частотную ф_Л.(со).

В отличие от периодического сигнала (7.24) с дискретным спектром, непериодический сигнал (7.44) содержит непрерывный спектр колебаний с частотами со, изменяющимися от 0 до «>. Амплитудный и фазовый спектры такого сигнала также являются непрерывными (сплошными), при этом амплитудный спектр G_v(co) описывает плотность распределения по оси частот амплитуд гармонических составляющих детерминированного сигнала, имеющих частоту со, а фазовый спектр cp_v(co) — фаз этих составляющих.

Примечание: при практическом вычислении значений функции cp_v(co) по формуле (7.48) нужно учитывать следующие свойства главного значения аргумента (р комплексного числа z = a + ib = |г|е^{, ф}:

Зная спектральную плотность сигнала G_v(co), можно по формуле (7.44) полностью восстановить форму этого сигнала x{t) и, наоборот, зная функцию времени x (t), можно по формуле (7.45) вычислить спектральную плотность сигнала G_v(co). Поэтому комплексная функция частоты G_v(co) является полной спектральной характеристикой детерминированного сигнала.

Если x (t) = 0 при f <0, то спектральные характеристики непериодического детерминированного сигнала можно вычислять по формулам.

где Х (р) = L{x (t)} — изображение по Лапласу функции x (t) (см. приложение 1). Использование этих формул часто существенно упрощает расчет спектральных характеристик детерминированных сигналов. Покажем пример такого расчета.

Пример 7.2.

Определить амплитудный и фазовый спектры сигнала в виде прямоугольного единичного импульса длительности т_и.

а — форма сигнала; б — амплитудный спектр; в — фазовый спектр

Решение

С помощью единичной ступенчатой функции времени 1 (?) такой сигнал можно записать в виде (рис. 7.5, а)

Преобразованием Лапласа такой функции служит.

Подставляя п = /со. находим.

Следовательно, амплитудная частотная функция рассматриваемого сигнала выражается формулой.

При о) = 0 эта функция имеет неопределенность типа 0/0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, можно получить G_v(0) = t".

При построении фазового спектра сигнала cp_v((o) = arg{X (i (o)} необходимо учитывать изменение знака функции sin (x_Hco/2) и правила (7.49). Так, например, если со > 0 и 0 < т"(о/2 < я, то sin (x_Hco/2) > 0 и cp_v(w) = -т_исо/2. Если же п < т_исо/2 < 2п, то Т (I).

sin (x_nco/2) < 0 и (р_д.(со) = я—7j-.

На рис. 7.5, б, в показаны графики амплитудного и фазового спектров сигнала (7.51) для случая т_и = 1 с.

В заключение перечислим основные свойства спектральных характеристик детерминированного сигнала.

1. Если x (t) = 0 при t < 0 и р = гео, то Фурье-изображсние функции x (t) совпадает с изображением этой функции по Лапласу, т. е. F{x (t)} = Х (т), где X (p) = L{x (t)}.

Например, из соотношения следует соотношение и т. д.

Сюда же можно отнести все свойства преобразования Лапласа, которые сформулированы в приложении 1 в виде теорем линейности (3), подобия (4), запаздывания (5) и др. Например, по аналогии с теоремой запаздывания, можно записать.

где а>0. Это означает, что если сигнал сдвигается по времени (т.е., если вместо функции x (t) рассматривается функция x (t — а), где а > 0), то амплитудный спектр и спектр мощности этого сигнала не изменяются.

• 2. Амплитудная частотная функция С_Л.(о)) вещественного сигнала x (t) представляет собой положительную четную функцию частоты со, а фазовая частотная функция cp_v(co) — нечетную функцию частоты.
• 3. Если x (t) — периодический сигнал, базовый импульс которого — х_T(t), то график амплитудного спектра базового импульса G_Xr(со) с точностью до постоянного множителя 2/Т совпадает с графиком огибающей спектра амплитуд периодического сигнала x (t)_y т. е. эти графики подобны (см. рис. 7.5, б и рис. 8.1).

4. Зная амплитудный спектр детерминированного сигнала G_x(со), можно определить спектр его мощности G%(со), а затем — энергию сигнала У по формуле

Эта формула указывает на связь между спектральными и энергетическими характеристиками детерминированного сигнала.

Перечисленные свойства можно использовать для контроля правильности расчета спектральных характеристик сигналов.