Методы исследования и устранения автоколебаний в системах с усилителями мощности

Итак, поведение нелинейной автоматической системы может быть изображено в виде траектории на фазовой плоскости. Вопрос состоит в том, чтобы, не решая в квадратурах нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие исследуемую динамическую систему, выработать качественные суждения о ее поведении и о мерах, которые могут быть приняты для устранения нежелательных колебаний, потенциально возникающих в этой системе.

Качественные методы особенно эффективны при изучении движения нелинейных систем с одной степенью свободы, но в ряде случаев эти методы могут быть успешно применены, и для изучения нелинейных систем с несколькими степенями свободы.

Те системы, в которых действуют только потенциальные силы (т. е. силы, образующие некоторый потенциал энергии системы), а другие силы к системе не приложены, называются консервативными.

Те же системы, в которых кроме потенциальных действуют еще и диссипативные силы, т. е. такие силы, которые приводят к рассеиванию (диссипации) энергии, называются диссипативными.

В механических диссипативных системахподобные дополнительные силы представляют собой сумму сил вязкого и сухого трения.

Доказано, что в диссипативных системах с одной степенью свободы система дифференциальных уравнений, описывающих изменения параметров системы, может быть сведена к одному нелинейному дифференциальному уравнению. На основании решения этого уравнения в функции от отклонения параметра и от скорости изменения этого отклонения на фазовой плоскости можно построить фазовую траекторию системы. Типичный вид такой фазовой траектории для затухающих автоколебаний показан на рис. 14.7.

На рис. 14.7 величины д₀, а₂ и представляют собой абсолютные значения абсцисс последовательных точек пересече;

Рис. 14.7. Фазовая траектория затухающих колебаний в нелинейной системе с одной степенью свободы.

ния фазовой траектории системы с осью P^t)' = 0. Эти величины принято называть последовательными амплитудами колебаний системы.

Если руководствоваться обозначениями, принятыми на рис. 14.7, такая последовательность амплитуд в общем случае определится следующими рекуррентными соотношениями:

Здесь по-прежнему р = ехр [— е (тс/со)], причем со = Vк² -г², а 2 г — коэффициент при том члене нелинейного уравнения, который пропорционален первой производной обобщенной координаты по времени, представляющей собой скорость изменения этой координаты. Иными словами, коэффициент е характеризует действующие в системе силы вязкого трения. Коэффициент В характеризует действующие в системе силы сухого трения, т. е. определяет знак отклонения (направление отклонения) обобщенной координаты, а отнюдь не величину этого отклонения или скорость его изменения.

Отрезок [—В, +В оси абсцисс фазовой плоскости называется зоной застоя (или отрезком покоя) исследуемой системы.

Если изображающая точка системы в каком-то полупериоде колебаний попадает в зону застоя, то движение системы прекращается. Действительно, в любой точке этого отрезка (отрезка покоя) восстанавливающая сила, вызывающая дальнейшие колебания, уравновешивается силой сухого трения. Так как на оси абсцисс сила вязкого трения, пропорциональная скорости изменения отклонения обобщенной координаты, обращается в нуль, то в нуль обращается и скорость изменения этой обобщенной координаты. Следовательно, при попадании изображающей точки в зону застоя всякое движение системы прекращается. А изображающая точка неминуемо за конечное время попадет в зону застоя, так как за каждое полуколебание, какова бы ни была начальная амплитуда а₀, амплитуда колебаний убывает на величину, не меньшую, чем 2В (это показывается в специальной литературе по теории нелинейных систем).

Если е = 0, т. е. в диссипативные силы, действующие в системе, входят лишь силы сухого трения, то (3=1 и а_я= а₀ — 2Вп.

Если же в системе отсутствуют силы сухого трения, т. е. В = 0, то имеУт место следующее равенство:

Это значит, что при отсутствии сил сухого трения зона застоя у системы отсутствует и собственные колебания системы затухают лишь асимптотически при Для систем с одной степенью свободы доказано также, что наличие или отсутствие сил сухого трения не влияет на величину периода собственных колебаний системы. Половина же периода собственных колебаний системы будет равна п/со.