Расчет коэффициента чувствительности измерительного устройства

С помощью коэффициента чувствительности К оценивают способность ИУ реагировать на изменение информативного параметра входного сигнала.

В общем случае коэффициент К вычисляется по формуле (4.13). Он зависит от параметров ИУ, вида структурной схемы ИУ и статических характеристик его звеньев y_i = /(хД влияющих на общую статическую характеристику И У у = f (x).

Если эта характеристика нелинейная, то коэффициент чувствительности зависит от измеряемой физической величины (переменной х). Напротив, коэффициент чувствительности И У с линейной статической характеристикой (4.8) или с линейной пропорциональной характеристикой (4.10) от х не зависит. Если К > 0, то с ростом х информативный параметр выходного сигнала И У возрастает (тем быстрее, чем больше значение К) и, напротив, если К < 0, то с ростом х он убывает. Случай К = 0 означает утрату способности средства измерений реагировать на изменение входной величины.

Коэффициент чувствительности можно определить графическим способом. Для этого нужно провести касательную КК к графику статической характеристики И У (рис. 4.6) и определить тангенс угла наклона этой касательной tga.

Рис. 4.6. К определению коэффициента чувствительности и коэффициента преобразования ИУ графическим способом

Затем можно воспользоваться формулой.

где т_х, m_lf — масштабы по соответствующим осям системы координат.

Если соединить начало системы координат и точку касания А отрезком 0Л и найти тангенс угла наклона этого отрезка tg (3, то можно определить коэффициент преобразования И У (4.16) по формуле.

Если все звенья ИУ имеют линейные пропорциональные статические характеристики вида у_{ = k_xx_{, где x_vy_{, k_x — соответственно входной сиг;

Если известна обратная статическая характеристика ИУ (4.2), то коэффициент чувствительности ИУ в точке х — |/(г/) можно вычислить по формуле нал, выходной сигнал и коэффициент чувствительности i-го звена, то общая статическая характеристика ИУ также имеет вид у = Кх. Обратное утверждение является неверным, т. е. ИУ может иметь линейную статическую характеристику (4.10) и в том случае, если статические характеристики его звеньев (всех или нескольких) — нелинейные.

В табл. 4.3 приведены формулы для расчета коэффициента чувствительности такого (состоящего из линейных звеньев) ИУ.

Таблица 43

Коэффициенты чувствительности типовых соединений звеньев ИУ

Формулы даны для типовых соединений звеньев: последовательного, параллельного и встречно-параллельного (с положительной или отрицательной обратной связью), т. е. для типовых структурных схем ИУ. При комбинированном соединении звеньев коэффициент чувствительности И У можно определить поэтапным методом или методом исключения промежуточных переменных [28].

Применение поэтапного метода аналогично применению этого метода в задачах расчета общей статической характеристики ИУ.

Метод исключения промежуточных переменных применяется в сочетании с методом структурных преобразований и сводится к такому преобразованию структурной схемы ИУ, при котором все измерительные преобразования происходят в ней лишь в одном прямом направлении. Для этого все разветвления и обратные связи в исходной структурной схеме ИУ обрываются и заменяются эквивалентными сигналами. В результате получается эквивалентная структурная схема ИУ.

Описывая прохождение измерительного сигнала х по такой схеме и исключая промежуточные переменные, можно получить уравнение.

(4.10), из которого затем несложно определить искомый коэффициент чувствительности И У по формуле К = у/х.

Покажем два примера расчета коэффициента чувствительности ИУ.

Пример 4.2

Определить коэффициент чувствительности ИУ в точке х = 2, если статическая характеристика И У задана уравнением.

Решение.

Вычисляем производную (4.13) и ее значение в точке х = 2:

Пример 4.3.

Определить коэффициент чувствительности ИУ, имеющего известную структурную схему (рис. 4.7, а) и известные значения коэффициентов чувствительности всех его звеньев: k_{ = 2, k₂ = k₃ = 3.

Рис. 4.7. Структурная схема ИУ:

а — исходная; б — эквивалентная.

Решение

В структурной схеме рассматриваемого ИУ можно выделить две группы звеньев с типовыми соединениями. Поэтому для решения задачи воспользуемся поэтапным методом.

На первом этапе определим коэффициент чувствительности группы I, представляющей собой типовое встречно-параллельное соединение звена 1 с единичным звеном в цепи отрицательной обратной связи. На рис. 4.7, а это соединение обведено пунктирной прямой и обозначено звеном 1. По формуле п. 3 табл. 4.3 найдем коэффициент чувствительности такого соединения.

На втором этапе по формуле п. 1 табл. 4.3 определим коэффициент чувствительности группы И, представляющей собой последовательное соединение звеньев 1 2

По завершении этого этана структурная схема ИУ оказывается приведенной к типовому параллельному соединению группы звеньев II и звена 3, для которого можно записать (см. формулы п. 2 табл. 4.3).

Это и есть общий коэффициент чувствительности ИУ, определяющий наклон его статической характеристики у = Кх. Подставляя в (4.24) числовые значения коэффициентов чувствительности всех звеньев ИУ, получим К = 5, т. е. статическая характеристика рассматриваемого И У имеет вид у = 5х.

Покажем решение этой задачи методом составления эквивалентной структурной схемы ИУ. Для получения этой схемы нужно в исходной структурной схеме И У (рис. 4.7, а) оборвать все разветвления и обратные связи и заменить их эквивалентными сигналами. В результате получим эквивалентную структурную схему ИУ, показанную на рис. 4.7, б. Здесь z — промежуточная переменная (выходной сигнал звена 1), которая заменяет собой оборванную единичную отрицательную обратную связь с выхода звена 1 на инверсный вход сравнивающего устройства; xk₃ — эквивалентный сигнал, который заменяет собой оборванную ветвящуюся связь от входа ИУ к суммирующему входу сумматора.

Рассмотренный вариант эквивалентной структурной схемы ИУ не является единственно возможным [28J.

Преобразования х —> z и z —> у для схемы рис. 4.7, б описываются уравнениями.

Они образуют систему двух уравнений с тремя неизвестными величинами х, у, z. Исключая из первого уравнения этой системы промежуточную переменную 2, получим.

Подставляя этот результат во второе уравнение системы (4.25), приходим к одному уравнению, связывающему входной и выходной сигналы ИУ:

Приводя эго уравнение к виду у = Кх, рассчитаем искомый общий коэффициент чувствительности И У.

что совпадает с ранее полученным результатом (4.24).

Расчет коэффициента чувствительности И У легко выполняется в среде Mathcad [26].