Кинематика вращательного движения

Вышеприведенные законы механики относятся к поступательному движению тела, частицы которого описывают одинаковые траектории. Существует и такой вид движения тела, при котором одинаковые по форме траектории — окружности — имеют разную длину (радиусы). Такое движение называют вращательным. В отличие от поступательного, оно локализовано в пространстве, что в некоторых случаях полезно: в метровых габаритах можно получить энергию, для которой при поступательном движении потребовались бы километры. Движение по окружности позволило, в частности, создать современные ускорители заряженных частиц, на которых получены выдающиеся результаты (см. параграф 6.3). Вращение распространено и в природе: Земля вращается вокруг Солнца и своей оси, Луна — вокруг Земли и т. д. В технике вращаются колеса и маховики двигателей, валы и винты гребных судов и вертолетов, при стрельбе — снаряды и нули.

У свободного твердого тела центром вращения является его центр инерции, а у несвободного — закрепленная точка, находящаяся внутри или вне тела. Если закреплены две точки, то вращение происходит относительно проходящей через них оси вращения. В таком случае центры вращения всех частиц тела лежат на этой оси.

Если при поступательном движении перемещение частиц тела одинаково, то при вращательном движении оно разное. Это ясно из рис. 3.1, где показано сечение тела, перпендикулярное оси вращения О: перемещение dl_{ частицы 1 больше, чем dl, частицы 2. В то же время угол поворота сЛр их радиус-векторов, а значит, и угловая скорость со одинаковы:

Рис. 3.1 Рис. 3.2.

Вращение вокруг оси О может иметь два направления, а относительно центра вращения их может быть неограниченно много. Поэтому угловую скорость характеризуют не только модулем (3.1), но и направлением, которое определяют правилом правого винта: если головку правого винта вращать в направлении вращения тела, то перемещение оси винта указывает направление вектора со (рис. 3.2).

Конечный угол ф поворота тела определяется интегрированием выражения (3.1) — аналогично операции (1.15):

где ф" — начальный угол при t = 0. Например, при со = const из формулы (3.2) получаем.

Из этих выражений ясно, почему угловую скорость со называют также круговой, или циклической, частотой.

Время полного оборота тела (на 2л) называется периодом Т, а число оборотов в единицу времени — частотой v вращения. Связь между ними очевидна:

Переменную угловую скорость характеризуют угловым ускорением е. Его определяют аналогично линейному ускорению (1.7):

Поскольку для всех частиц твердого тела со одинакова, то и е одинаково. При о = const е = 0, что, однако, не означает, что ускорение вообще отсутствует: из самого факта вращения следует наличие нормального ускорения (1.10).

Как следует из формулы (3.5), при dot > 0 вектор е сонаправлен с вектором © (рис. 3.3, а), а при da < 0 антипараллелен ему.

Рис. 33.

Подставляя в формулу (3.1) равенство dr = ?т/ср (см. рис. 3.1), получим известную связь линейной и угловой скорости:

Примеры практики.

• 1. В соответствии с формулой (3.6) угловая скорость шпинделя станка определяет линейную скорость обработки в точках контакта резцов, сверл и фрез с поверхностью детали, а угловая скорость вращения колес определяет линейную скорость автомобиля.
• 2. Издревле формулой (3.6) интуитивно пользовались для метания снарядов пращой и катапультой. В 1908 г. русский инженер Б. Н. Безобразов развил этот принцип в виде так называемой центробежной пушки, снаряды которой срывались по касательной с вертикального колеса при его раскрутке. В 1920—1930;х гг. американцы и японцы пытались воплотить ту же идею в пулеметах, однако это потребовало мощных двигателей и больших радиусов метательного диска. Такое оружие громоздко и нс обеспечивает точности и кучности стрельбы.

В формуле (3.6) фигурируют модули v, © и г. Математическая операция, которая связывает соответствующие векторы, — это векторное произведение:

где второе выражение определяет модуль вектора г>, а ср — угол между векторами © и г. Как следует из соотношений (3.7), формула (3.6) отражает лишь частный случай (р = тг/2. В соответствии с соотношениями (3.7) направление вектора и определяется правилом правого винта: головку винта вращают от первого вектора в скобках (в данном случае — со) ко второму (г), и перемещение его оси указывает направление вектора о. Так, на рис. 3.3, а радиусвектор г частицы 1 составляет с осью вращения г угол л/2 — частица вращается вокруг центра О, находящегося на оси z. Вектор v ее линейной скорости направлен по касательной к траектории, изображенной пунктиром, а направление вектора со определяется описанным выше правилом правого винта при известном направлении вращения.

Чтобы количественно связать угловое и линейное ускорения, подставим в первый член правой части формулы (1.8) выражение (3.6). Тогда для. ио- дулей ускорений а_х = гг. Нетрудно убедиться, что связь между соответствующими векторами также определяется векторным произведением: