Бином Ньютона. 
Математика

Общий член рассмотренной последовательности.

является частным случаем бинома (т.е. двучлена) Ньютона:

(а + Ь)^п.

При небольших значениях п выражения такого вида часто встречаются в школьном курсе математики. Хорошо известны формулы:

при п = 2: (й + b)² = й² + 2ab+ b², при п = 3: (й + b)³ = й³ + 3a²b+3ab² + 6³, правые части которых представляют собой разложения бинома Ньютона в многочлены второй и третьей степени. Эта закономерность сохраняется при произвольном п. Коэффициенты в разложении бинома Ньютона могут быть определены с помощью так называемого треугольника Паскаля:

Например, 6-я строка (при п = 5) в треугольнике Паскаля дает возможность сразу написать следующее разложение: (а + Ь)⁵ = а⁵ + 5а^ЛЬ + 10 а³Ь² + 10 а²Ь³ + 5 аЫ + Ь⁵.

Понятие о числовых рядах

В математике и ее приложениях часто встречаются символические бесконечные суммы следующего вида:

Такие выражения называются числовыми рядами, а числа щ, и₂, и₃,и_п,… называются членами ряда. С числовым рядом мы фактически уже встречались, когда рассматривали сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Обычно наряду с числовым рядом рассматривают последовательность его частичных (т.е. конечных) сумм (в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы так и поступали):

Если эта последовательность имеет (конечный) предел:

то его называют суммой ряда, в этом случае записывают:

и говорят, что данный ряд сходится. В противном случае говорят, что ряд расходится. Та же терминология применяется и к соответствующим последовательностям частичных сумм.

Например, ряд.

расходится. Читателю рекомендуется убедиться в этом самостоятельно, предварительно составив последовательность соответствующих частичных сумм S_n.

Зная последовательность частичных сумм ряда, легко восстанавливается и сам ряд:

Таким образом, между числовыми рядами и числовыми последовательностями имеется тесная связь.

По отношению к каждому числовому ряду возникают два вопроса: сходится он или расходится и далее, если сходится, то какова его сумма. Приведем (без доказательства) один из признаков сходимости или расходимости числовых рядов.

Пусть все члены ряда.

положительные числа. Обозначив отношение ^^JL^- = v_n,.

и_п

предположим, что последовательность v_n имеет предел:

Тогда имеет место следующий признак Даламбера: если v < 1, то ряд сходится, а если v > 1, то ряд расходится. Применим этот признак к следующему ряду:

где п! (читается: эн-факториал) равно произведению: п! = 1 • 2 • 3 •… * п. В нашем случае имеем:

1 1.

поэтому v_n =— и lim v_n = lim — = 0. Следовательно, данный.

Н П—>°° /I—о /2.

ряд сходится.

Что касается суммы этого сходящегося ряда, то доказано, что она равна числу е:

Сохранив в левой части конечное число слагаемых, можно получить значение числа е с любой точностью. Например, В математике рассматриваются не только числовые, но и функциональные ряды. Для их изучения необходимо прежде всего разобраться детально с понятием функции — этому и будут посвящены следующие главы книги.