Частотный способ анализа устойчивости

Теорема Попова об абсолютной устойчивости

Для исследования устойчивости комбинированных систем со статической нелинейной характеристикой, удовлетворяющей определенным ограничениям, В. М. Поповым был предложен простой способ, аналогичный частотным методам анализа устойчивости линейных систем.

Этот способ позволяет оценить так называемую абсолютную устойчивость, т. е. экспоненциальную устойчивость «в малом», при любой форме нелинейности из ограниченного диапазона.

Обсудим суть метода для системы, структурная схема которой изображена на рис. 7.3, при условии что v = 0.

Нелинейный элемент (НЭ) представляет собой однозначную статическую характеристику произвольного вида, удовлетворяющую следующим ограничениям:

что соответствует заштрихованному сектору на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Иллюстрация ограничений на нелинейность.

Все линейные звенья системы объединены в одну передаточную функ;

_ч В (р) " .

цию W (p) = -, причем линейная часть должна быть устойчива, т. е.

А (Р)

ReA{/l (p) = 0} < 0.

Приведем без доказательства формулировку теоремы Попова.

Теорема 8.6 (Попова). Нелинейная система будет абсолютно устойчива, если можно подобрать такое конечное вещественное число h, при котором будет выполняться неравенство

где VB,(/'co) = R{со) + //(со) — амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы.