Задачи метода Source-Model Technique

Метод Source-Model Technique (SMT) обычно используется как альтернатива обычному выражению поверхности в задачах рассеивания. В задаче распространения картины поля моды могут быть рассмотрены как нетривиальные решения задачи рассеивания со стремящейся к нулю накачкой. Также решения могут существовать для особых пар и со, если есть поперечный резонанс, который может быть найден путем поиска сингулярностей матрицы импеданса. Альтман и др. использовали эту идею в контексте SMT для анализа цилиндрического волокна со ступенчатым профилем показателя преломления [20]. О преимуществах и ограничениях метода SMT сообщали в работах [22, 23], соответствующей обобщенной мультиполыюй методики — в работе [24].

Когда SMT применяется в задаче проницаемого цилиндра, два набора фиктивных элементарных источников используется для аппроксимации поля вообще везде. Один набор помещается снаружи цилиндра, и генерируемое им поле используется для аппроксимации поля внутри цилиндра; второй набор помещается внутрь цилиндра, и генерируемое им поле используется для аппроксимации поля снаружи цилиндра. Элементарные источники, образующие каждый набор помещаются в однородную среду с необходимыми параметрами, т. е. источники снаружи цилиндра излучают в гомогенную среду с такими же параметрами, что и среда, окружающая цилиндр. Тогда комплексная амплитуда источников корректируется под условия непрерывности для тестовых точек на поверхности цилиндра. Выраженные таким образом поля автоматически удовлетворяют уравнениям Максвелла непосредственно и условиям непрерывности приблизительно, причем точность приближения возрастает с увеличением количества источников и тестовых точек.

В общем (при условии р Ф к) поля, распространяющиеся в гомогенной части цилиндрического волновода (независимое от Z сечение), могут быть представлены как суперпозиция поперечно-электрического (ТЕ) и поперечно-магнитного (ТМ) полей, которые в свою очередь могут быть выведены из направленных по Z электрических (ТЕ) и магнитных (ТМ) векторных потенциалов (гл. 3, [25]). Элементарные источники, используемые для моделирования ТМ-части поля, являются электрическими токами накала; те же, которые используются для моделирования ТЕ-части поля, — магнитные токи накала. Оба набора источников движутся вдоль волновода. Как показано на рис. 5.4, поле в оптически более плотной среде усредняется электрическими и магнитными токами накала, равномерно распределенными по S^d, — кривой, полученной из кривой S, путем незначительного конформного сжатия кривых вставок S^(J) и небольшого конформного растяжения кривой S^Jack. Как показано на рис. 5.5, поле в оптически менее плотной среде усредняется электрическими и магнитными потоками, равномерно распределенными на кривой S'¹', — кривой, полученной из кривой S, путем незначительного конформного растяжения кривых вставок S^iJ) и небольшого конформного сжатия кривой S^J«^ck. Сжатая или растянутая кривая будет обозначена путем добавления индекса соп или dil. В нашем случае степень сжатия одинакова для всех кривых, как и степень растяжения. Обозначим их а_соп и а_м, соответственно. Подобное представление гибридных мод выполнено в том смысле, что L — норма ошибки в приближении произвольной моды может быть сделана сколь угодно малой путем увеличения количества источников [26].

Поля элементарных источников выводятся их векторных потенциалов.

Магнитный векторный потенциал А за счет электрического тока накала / на расстоянии р от нити задается так:

где Hj,^2> — функция Ханкеля 2-го рода и нулевого порядка, и_ — единичный вектор по Z, к — радиальное векторное число, звисящее от параметров среды.

Рис. 5.4. Моделируемая однородность для оптически более плотной среды [14].

Рис. 5.5. Моделируемая однородность для оптически менее плотной среды [14].

Соотношение между продольной константой распространения (3, волновым числом к и радиальным волновым числом к_р задается уравнением с разделяющимися переменными (в общем случае, это уравнение вида у' =f (x, y), когда функцию Дх, у) можно представить в виде произведения 2ух функций, зависящих только от .V и у: Дх, у) = р (х)? h (y), где р и h — неразрывные функции):

где волновое число зависит от среды и связано с волновым числом в свободном пространстве к_п через к =к_оу[ё^., где е. — относительная диэлектрическая проницаемость среды. Так как (3 вещественна, кр либо вещественна (и выбирается положительной для представления исходящих волн), либо чисто мнима (с отрицательной мнимой частью, чтобы гарантировать угасание поля при стремящемся к бесконечности р). Электромагнитное поле за счет электрического тока накала выражается из магнитного векторного потенциала как.

Расширяя уравнение (5.17), получим:

где н_ф и Up — единичные векторы, Я,^|2) — функция Ханкеля второго рода и первого порядка. Для магнитного тока накала работают двойные уравнения. Магнитный векторный потенциал F за счет магнитного потока К на расстоянии р задается как:

Электромагнитное поле за счет магнитного тока накала выводится из электрического тока накала как:

При расширении уравнения 5.20 получим:

Линейная комбинация их электромагнитных полей используется для аппроксимации картин поля моды. Обозначим через {ifj набор из N^d амплитуд электрических потоков в линейной комбинации того же ноля. Эти источники равномерно распределены на кривой S^d и излучают в среде с диэлектрической проницаемостью ?^d_r. Эта аппроксимация полей, обозначенная через E^dи H^d, задается как:

где А_р = (е^А₀² -(З²)¹² и e^d должны быть использованы в уравнениях (5.18) и (5.21). Аналогично, для /-й вставки обозначим через jl[" } набор из N^iJ) амплитуд электрических потоков в линейной комбинации для поля внутри 5^<�л. Обозначим через |K‘^j)| набор из Л^{Г (Л} амплитуд магнитных потоков в линейной комбинации для того же поля. Эти источники равномерно распределены по кривой Sjj, и излучают в среду с диэлектрической проницаемостью sf. Область снаружи кривой оболочки S^Jack обрабатывается подобно вставке: N^Jack электрических и магнитных источников на кривой S^d" f используется для моделирования поля там. Так как необходимое число источников связано с пространственной вариацией картин поля моды на S, обычно используют то же число источников с обеих сторон от границы. Сформулируем метод решения по этому пути Л',.

так, что N^J — N'"^ck + УN^iJ Эта аппроксимация полей, обозначен;

j-1.

ных Е^и) иН^и задается так:

где к_р = -р²)¹² и ef должны быть использованы в уравнениях.

(5.18) и (5.21).

Теперь мы переходим к конечной стадии описания — применении непрерывности тангенциальных компонент полей, проходящих через границы раздела сред. Обозначим через п^и) единичный вектор, нормальный к S^u) и направленный вовне. Тогда условие непрерывности читается как.

где каждое из вышеуказанных уравнений с векторным оператором ведет к двум скалярным уравнениям с оператором — одно для z-компоненты и одно для поперечной тангенциальной компоненты. Для получения приближенного решения мы применяем эти условия к набору из M^(j) тестовых точек, равномерно распределенных на границах S^U) среды; их общее количество обозначим как М. Результат — однородное матричное уравнение: где матрица импеданса [Z] - это [4М х 4N^d], а вектор амплитуды источников I состоит из вертикальной последовательности амплитуд всех источников. Дисперсная характеристика и картины поля моды находятся через поиск нетривиальных решений для уравнения (5.25). Для существования таких решений [Z] должна быть сингулярной. Если N^d = М детерминант, который в действительности никогда не равен нулю для приближенного решения, может быть использован как мера сингулярности [Z], Однако преимуществом является использовать другие меры сингулярности, такие как число обусловленности, которое может обрабатывать переопределенные системы. Используя больше тестовых точек, чем источников, можно устранять ложные решения уравнения (5.25), которые решают уравнение для тестовых точек, но по факту являются разрывными решениями для них. Для данной частоты со сингулярности матрицы [Z], соответствующие волновым модам, должны быть найдены для значений р в интервале ^к_оЛ[ё^~, k₀^Jё^^. Когда сингулярность найдена для некоторого значения ((3, со), мы анализируем [Z] на нуль-пространство, которое объединяет нетривиальные решения уравнения (5.25). Этот анализ может быть проведен различными методами [27], такими как QR-разложение, метод исключения Гаусса и сингулярное разложение. На анализ можно довольно точно повлиять применением методов оценки собственных векторов наименьших собственных значений матрицы Эрмита [Z]^T[Z] (см. гл. 8 в [7]). Размерность нуль-пространства (определяющая вырождение моды) — это число линейно независимых мод, имеющих одни и те же параметры дисперсии ф, со), равное 1 или 2, как было показано теоретико-групповой методикой [28]. Как только находятся базисные векторы, картины поля моды тут же получаются за счет расширения линейных комбинаций, заданных уравнениями (5.22) и (5.23), с вычисленными амплитудами.