Законы Кирхгофа для комплексов. 
Порядок расчета установившегося синусоидального режима символическим методом

В уравнениях Кирхгофа, записанных относительно функций мгновенных значений токов и напряжений, 2Ж0 ⁼ 0 — в узле, ?в (0 = 5Ж0 «в контуре, фигурируют только синусоидальные функции времени. Для соответствующих им комплексов справедливы уравнения.

Так как комплексы напряжений на элементах контура связаны с комплексом тока алгебраически (см. формулы (3.6)), система (3.8) является системой алгебраических уравнений. Ее принято называть системой уравнений Кирхгофа для комплексов.

Вывод. Для комплексов, изображающих синусоидальные токи и напряжения, выполняются первый и второй законы Кирхгофа. Система уравнений Кирхгофа для комплексов является системой алгебраических уравнений.

Символический метод также называют методом комплексных амплитуд. Рекомендуемый порядок расчета продемонстрируем на примерах 3.1 и 3.2.

Пример 3.1. Для цепи, показанной на рис. 3.5, а, заданы: R = 200 Ом; L = = 0,4 Гн; С = 10 10 ⁽'Ф; e (t) = 720 sin 1000? В. Определить: i (t), u_R(t), u_L(t), u_c(t).

Puc. 35. Схемы к примеру 3.1:

a — исходная цепь; 6 — се символическая модель.

Решение

1. Для всех действующих в цепи синусоидальных источников находим соответствующие им комплексы. Расчет может выполняться как в комплексных амплитудах, так и в комплексах действующих значений. Проведем решение в комплексных амплитудах.

Синусоидальной ЭДС e (t) = 720sinl000? (В) соответствует комплексная амплитуда Е_т = 720е'° (В).

2. Рассчитываем комплексные сопротивления всех пассивных элементов:

• 3. Строим символическую расчетную модель цепи. В модели действуют комплексные источники, элементы обладают комплексными сопротивлениями. В ветвях модели протекают комплексные токи, на ее участках — комплексные напряжения (рис. 3.5, б).
• 4. Пользуясь символической моделью, рассчитываем комплексы искомых синусоидальных токов и напряжений. При этом либо применяем непосредственно законы Кирхгофа (3.8), либо любой расчетный метод, следующий из алгебраической формы уравнений Кирхгофа. Другими словами, рассмотренные во второй главе методы контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора и т. п. применимы для символической модели.

Для символической схемы на рис. 3.5, б из второго закона Кирхгофа для комплексной амплитуды тока имеем.

Комплексную амплитуду искомого тока желательно иметь в показательной форме записи. С этой целью стоящее в знаменателе последнего выражения комплексное число 200 + /300 приводим к виду Ae^ja (рис. 3.6):

Тогда для тока / получаем.

Рис. 3.6. Изображение комплексного числа 200 + J300 на комплексной плоскости.

Комплексы напряжений па элементах:

Найденные комплексы в выбранном масштабе изображены на комплексной плоскости (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Векторы тока и напряжений на элементах цени рис. 3.5. Векторный многоугольник напряжений иллюстрирует на комплексной плоскости.

второй закон Кирхгофа.

5. Переходим от найденных комплексов к соответствующим синусоидальным функциям времени. Переход наиболее удобен, если комплексы имеют показательную форму записи:

В следующем примере дан расчет синусоидального режима с использованием комплексов действующего значения. Этот вид комплексов особенно удобен в задачах, где требуется определить действующие значения синусоидальных величин, например показания приборов.

Пример 3.2. Для цени (рис. 3.8, а) дано: R = 100 Ом; L = 0,02 Гн; С = 4 • 10″ ^бФ; i_K(t) = 4cos 5000 Г А

Рис. 3.8. К примеру 3.2:

а — заданная цепь; б — ее символическая модель.

Определить: i_R (t), i_L (t), i_c (t) и показания вольтметра и амперметра, измеряющих действующие значения. Приборы считать идеальными.

Решение

Если гармонический источник задан как косинусоидальная функция времени, то переходим к синусу: i_K(t) = 4cos5000/ = 4sin (5000/ + 90°) А. Соответствующий комплекс действующего значения равен

Вычисляем комплексные сопротивления пассивных элементов:

Символическая модель цепи рис. 3.8, а изображена на рис. 3.8, б. Идеальные приборы на рис. 3.8, б не показаны.

При расчете схемы на рис. 3.8, б принимаем во внимание параллельное соединение ветвей R, L, С. Найдем комплексную входную проводимость цени относительно зажимов источника «1» и «2»:

Напряжение на зажимах источника тока (одновременно это напряжение на параллельных элементах Z_R, Z_D Z_c цепи, изображенной на рис. 3.8, б) равно.

Комплексы токов в ветвях находим по закону Ома:

• •.

Векторы, соответствующие комплексам ?/_|2, 1_К> /_Л, 1_а /_к, построены на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Векторная диаграмма цепи рис. 3.8 иллюстрирует на комплексной плоскости первый закон Кирхгофа.

Функции мгновенных значений токов в ветвях записываем, принимая во внимание, что амплитуды синусоид в л[2 раз больше модулей их комплексов действующего значения:

Показания приборов. По условию задачи приборы измеряют действующие значения. Их показания равны модулям соответствующих комплексов действующего значения: вольтметр показывает модуль комплекса U_l2, V —*? U_l2 = 200 В; амперметр показывает модуль комплекса I_R, Л —? I_R = 2 А.