Вариации кривых и функционалов

Сейчас мы поступим примерно так, как поступали Л. Эйлер и Ж. Лагранж, рассматривая простейшую задачу.

Метод вариаций — подход Эшера—Лагранжа в простейшей задаче.

Итак, пусть разыскивается экстремум функционала в простейшей задаче вариационного исчисления. Далее всегда будем искать inf, замечая, что он отличается от sup только знаком:

Будем считать, чтоу (х)еС'([я, Ь).

• 0.1.2. Семейство функций у (х) из С'([а, />]) назовем допустимым, если оно удовлетворяет условию (1.2), а сами функции семейства назовем допустимыми.
• 0.1.3. Будем говорить, что кривая у,(х) из допустимого семейства сообщает функционалу (1.1) относительный минимум^[1]. если

Такой min принято называть слабым. Здесь близки как функции, так и производные, как это показано на рис. 1.2. В этом подходе явно просматривается идея метода вариаций. В окрестности минимизирующей функции у"(х) находится бесконечное множество мало отличающихся от нее функций д>(х):

где 6у (х) — вариация функции, которую определим следующим образом.

Рис. 1.2. Пример слабой вариации.

0.1.4. Назовем функцию 6у (х) допустимой вариацией, если 6y (x)€C'([tf, b)) и Таким образом, под вариацией функции мы понимаем семейство функций вида 6у (х) = 0 м (х), заданных на [а, Ь, удовлетворяющих (1.4), причемм (х)еС'([я, 6]), авеличинаО<0< I играет роль малого параметра.

Рассмотрим поведение функционала в окрестности минимизирующей кривой у,(х). Для этого изучим так называемую полную вариацию:

где Полагая, что f{x) сколь угодно гладкая (или, как сегодня принято, / е С"[й, Ь), Эйлер и Лагранж поступали примерно так. Разложив подынтегральную функцию/ в ряд по у и у', в первом интеграле справа в (1.5), с учетом вида функции (1.6), получим.

где Здесь ДУ, бУ, б²У,… — полная, 1-я, 2-я и последующие вариации функционала У; Af, Ь/, б²/— полная, 1 -я и 2-я… и последующие вариации основной функции f вычисленные на кривой у.

Как видим, 6У, б²У — соответственно главная линейная и квадратичная части приращения функционала У. Также говорят, что.

1 -я вариация по Лагранжу функционала У.

Определим 1-ю вариацию на современном языке функционального анализа, предварительно дав определение дифференцируемого функционала.

0.1.5. Функционал Ф называется дифференцируемым, если.

где F (y, И) зависит от И линейно, т. е. при фиксированном элементе у (в вариационном исчислении это некоторая кривая у (х)) имеет место

a R (h, у) = О (А²) в том смысле, что из h < г и dh/dx < е следует |/?| < Се², где к и С— некоторые постоянные.

В таком случае имеет место следующее определение.

0.1.6. Линейная часть приращения функционала Ф, т. е. F (y, h), называется дифференцишом функционала на элементе у в направлении И.

Определения 1.5 и 1.6 связаны с именами Р. Гато и М. Фреше. Как видим, дифференциал F (y, 6у) = 8J (у*, у*, 8у, 8у') в вариационном исчислении называют первой вариацией функционала У, а «малый» элемент h{x) = 6у (х) называют вариацией кривой.

Рассмотрим на пространстве допустимых функцийу (х) параметрическое семейство 0 > 0 (семейство вариаций бу (х) = ви (х) при фиксированной функции и (х) и малом переменном параметре 0):

тогда, совершив предельный переход при 0 -* 0 и предположив существование предела, получим выражение для приращения функционала (1.1) в простейшей задаче:^[2]

Это в «чистом виде» дифференциал Гато:

Отметим, что он линеен по и и и'. Также мы предполагаем его непрерывность по этим аргументам.

• [1] Подчеркнем, что мы говорим об относительном минимуме како минимуме на множестве допустимых кривых, лежащих в некоторой малой окрестности у*(х), тогда как под абсолютным минимумом понимаемтот, который достигается среди всего множества допустимых кривых.
• [2] Рекомендуем выполнить соответствующие выкладки.