Системы дифференциальных уравнений

На практике мы часто сталкиваемся с задачами Коши не для одного уравнения, а для системы из JV дифференциальных уравнений первого порядка. Все рассмотренные выше схемы для численного решения уравнения (7.14) непосредственно обобщаются на случай системы уравнений (7.15). Следует только заменить и]'⁰ на u^^rt) и f (x, и⁽_п^а)) на f (x, х⁽_п^а)) в схемах Рунге — Кутта и Адамса. Например, систему уравнений.

можно записать в форме.

Если ввести обозначения.

схема Рунге — Кутта (7.25) для системы уравнений имеет вид и в случае системы (7.31) записывается как.

Задача Коши для дифференциального уравнения вида.

может быть также представлена в виде системы уравнений.

(7.15) путем замены переменных. Следующий пример демонстрирует эту процедуру. Уравнение.

можно представить в виде системы уравнений, если сделать замену.

В результате мы получим.

В параграфе 7.3.1 мы рассмотрели критерий устойчивости разностных схем для модельного уравнения (7.16). Теперь в качестве модельной системы выбирается следующая система уравнений:

где, А — некоторая матрица с постоянными коэффициентами. Критерий устойчивости разностной схемы для этой модельной системы представляет собой некоторое ограничение на величину w = h^_m(A), где Х,_п(А) есть собственные значения матрицы А. Только теперь появляется новая особенность. В общем случае, матрица, А несимметричная, тогда ее собственные значения не обязательно вещественные и, следовательно, параметр w может принимать комплексные значения. Поэтому разностная схема будет устойчивой, если параметр w (для всех значений т) принадлежит определенной области на комплексной плоскости. Такие области для схем Рунге — Ку гта и Адамса показаны на рис. 7.4—7.6.

Рис. 7.4. Области устойчивости на комплексной плоскости для /7-стадийных явных схем Рунге — Кутта порядка р = 1, 2, 3, 4. Область устойчивости лежит внутри контура.

Рис. 7.5. Области устойчивости на комплексной плоскости для явных схем Адамса порядка р = 1, 2, 3, 4. Область устойчивости лежит внутри контура.

Рис. 7.6. Области устойчивости на комплексной плоскости для неявных схем Адамса порядка р = 3, 4 (схемы первого и второго порядка безусловно устойчивы). Область устойчивости лежит внутри контура В параграфе 7.3.4 мы рассмотрели, как можно обобщить критерий устойчивости, полученный для линейного модельного уравнения, на случай нелинейного уравнения. Этот критерий устанавливает некоторые ограничения на.

I 5/.

величину пу*, где у* оценивает скалярную величину —.

ди

В случае системы уравнений (7.15) естественным аналогом производной — является матрица Якоби F (x, и). Тогда па;

ди

раметр w, определяемый теперь как w = hX_m(F), будет переменным. Разностная схема будет устойчивой, если шаг h выбирается таким образом, чтобы параметр w (для всех значений т) принадлежал определенной области на комплексной плоскости.