Диффузионное подобие. 
Процессы и аппараты химической технологии

Экспериментально установлено [2], что скорость диффузии компонента А в неподвижных газе или жидкости выражается зависимостью:

где Ga — скорость диффузии, или поток массы на единицу площади; D — коэффициент диффузии; с, а — массовая концентрация диффундирующего компонента А.

Для мольных соотношений будем иметь:

где Na — мольная скорость диффузии компонента А; с'_л — мольная концентрация.

При идеальном газе зависимость между парциальным давлением и мольной концентрацией представляется в виде:

где R — универсальная газовая постоянная.

Таким образом, для диффузии газа при постоянной температуре получим:

Все вышеприведенные формулы справедливы в случае, когда концентрация диффундирующего компонента мала.

Рассматривая с точки зрения кинетической теории взаимную диффузию двух газов АиВъ направлении оси z, получим:

где п_А — мольная плотность газа А; со₀- общая скорость газовой смеси в направлении оси z Х_А — средняя длина свободного пробега молекул газа A, v_A — средняя мольная скорость газа А.

Аналогично для газа В имеем:

При постоянном общем давлении (р = const):

или Исключая o) q из (4.28) и (4.29) при использовании (4.30), найдем:

Для случая одинаковой и противоточной молекулярной диффузии двух газов (N_a = -N_B):

Обозначив коэффициент диффузии получим для (4.32):

или в общем виде.

Последнее выражение идентично (4.26), так как мольная концентрация сл и мольная плотность па равнозначны.

При диффузии газа А через неподвижный газ В имеем А^=0 и из (4.31) найдем:

где D — коэффициент диффузии определяется из уравнения (4.33). Выражение (4.34) может быть представлено в виде:

где р_в — парциальное давление неподвижного газа Вр~ общее давление газовой смеси, которое принимается постоянным.

или или.

Если парциальное давлении рл диффундирующего компонента, А мало и рв приближенно равно р_у то уравнение (4.36) может быть заменено равенством (4.27):

Для установившейся молекулярной диффузии в направлении одной оси при конечном отрезке z из уравнения (4.26) после интегрирования найдем и аналогично из (4.27):

Эти результаты для диффузии в жидкости и газе действительны, как было указано выше, при условии, что концентрация или парциальное давление диффундирующего компонента малы.

Полученные выражения аналогичны таковым для одномерной теплопроводности в твердых телах при установившемся состоянии.

Однако для диффузии в неподвижном слое со значительным парциальным давлением диффундирующего компонента должны применяться уравнения (4.34) или (4.35). Из уравнения (4.36) для одномерной диффузии имеем:

При постоянном общем давлении р = р_А + р_в, имеем Следовательно уравнение (4.37) можно записать:

После интегрирования от p_Bi до p_Bi получим:

где р_в — средняя логарифмическая разность парциальных давлений для неподвижного газа В.

или Рассмотрим объем V внутри жидкости, поверхность которого S (рис. 4.1). Если имеет место массопередача компонента А за счет диффузии, то в любой точке на поверхности будет происходить движение массы со скоростью G_a (уравнение 4.25).

Скорость накопления вещества А внутри объема будет иметь вид:

Рис. 4.1. Скорость выхода компонента Л через поверхность S за счет конвекции и диффузии: W — скорость потока; с_А — концентрация компонента A; G_A — скорость диффузии компонента А;

В соответствии с формулой Остроградского интенсивность прохождения вещества А через поверхность S за счет конвекции при скорости жидкости со будет:

Скорость выхода вещества Л через поверхность S за счёт диффузии:

Подставляя значение Ga из (4.25), получим для правой части последнего равенства:

При постоянстве массы диффундирующего компонента^ имеем: или для бесконечно малого объема:

Это уравнение подобно уравнению неразрывности. Здесь дополнительный член DV²c_a означает скорость выхода компонента А за счет молекулярной диффузии.

Выражение (4.38) может быть записано в виде: где Dc_a /dt полная, или субстанционная производная концентрации с_А по времени I т. е.

Если жидкость несжимаема (плотность жидкой смеси постоянна), то div.

или Это основное уравнение массопередачи в потоке жидкости за счёт конвекции и диффузии. При установившемся состоянии будем иметь:

или При двух потоках (в модели и промышленном аппарате) с геометрически подобными границами можно найти условия подобия массопередачи.

Пусть W — характерная скорость, L — характерная длина и р — плотность жидкой смеси.

Введем безразмерные величины:

Тогда уравнение (4.40) можно представить в безразмерном виде:

или При известных граничных условиях решение уравнения (4.41) зависит только от D/W_XL.

Обратная величина W_XL/D есть критерий (число) Пекле (Ре) — аналог критерия Рейнольдса (Re = fV_lL/v). Этот критерий дает меру относительных величин масссопередачи за счет конвекции и диффузии.

Отмечая справедливость равенства.

найдем, что условием полного подобия для движения жидкости и массопередачи является равенство числа Рейнольдса и отношения v/D. Величина v/D известна под названием критерия Шмидта (Sc) и является аналогом критерия Прандтля (Рг = v/a) в теплопередаче. Подобно критерию Прандтля, критерий Sc включает в себя только физические свойства жидкости.

Обращаясь к уравнению (4.25), можно для массопередачи выделить множитель G_AL/D • Ас_а (&с_а - общая разность массовых концентраций, для мольных концентраций — N_AL/D- &с'_А). Эти безразмерные группы величин аналогичны критерию Нуссельта в теплопередаче.

Из уравнений Навье-Стокса (4.6) и (4.41) можно заключить, что для массопередачи посредством принудительной конвекции в геометрически подобных системах справедливо соотношение:

Если по аналогии с теплопередачей примем для коэффициента массопередачи по жидкости:

то безразмерные величины для коэффициента массопередачи по жидкости в уравнении (4.42) будут иметь вид:

Для диффузии газов обычно используют величину парциального давления вместо концентрации. В этом случае коэффициент массопередачи по газу:

Критерий Нуссельта:

Еще одна комбинация параметров для массопередачи по жидкости имеет следующий вид:

Эта безразмерная величина является аналогом критерия Стантона (St) в теплопередаче.

В соответствии с уравнением (4.42) можно записать для коэффициента массопередачи по жидкости:

и для газообразных веществ:

Рис. 4.2. Зависимость концентрации жидкости (X) и газа (Y) от условий движения потока (табл.4.1)

Табл. 4.1. Критериальные уравнения по определению скорости массопередачи газов н жидкостей при различных условиях движения потоков.

* Jo — безразмерный комплекс величин J_D = f (Re, Sc) к_х — коэффициент массоперсдачи для жидкостей, моль/(м²чмол. доля); к'_у — коэффициент массопередачи для газов, моль/м²ч*(молъ/ед. объема); ку — коэффициент массопередачи для газов, молъ/м² ч х (масса Л/масса В); d_p — диаметр частиц; Р — давление; Gm — скорость газа, кмоль/м² ч; L_M — скорость жидкости, кмоль/м² ч; е — порозность насадки.

Критерий St выражает отношение действительной скорости массопередачи при наличии диффузии и конвекции к потоку массы компонента А, распространяющегося в ламинарной струе со скоростью W. С другой стороны критерий Нуссельта (Nu) представляет отношение действительной скорости массопередачи для данных условий к гипотетической скорости массопередачи, имеющей место при чистой диффузии с концентрационным gra dbc_A/L.

Экспериментальное изучение процесса массопередачи с последующей обработкой результатов приводит к критериальным уравнениям приведенным в табл.4.1 (рис. 4.2).

Пример 1. Диффузия в турбулентном потоке (при увлажнении воздуха) [2].

Определить скорость испарения воды из сосуда, установленного на дне газохода, через который проходит воздух со скоростью 6 м/с. Площадь поперечного сечения сосуда F_c= 0,09 м²; температура поверхности воды 37,8°С. Температура воздуха 60 °C при 1 ат; парциальное давление водяных паров в воздухе 0,0315 ат. Средняя молекулярная масса воздуха 28,7. Плотность воздуха:

Вязкость воздуха:

Длина стенки сосуда /=0,3 м.

Критерий Рейнольдса:

Коэффициент диффузии D для паровоздушной смеси при 25,9°С:

В пересчете на 60°С:

Критерий Шмидта:

где.

Из табл.4.1 и рис. 4.2 (линия 4) найдем:

Расчет к'_у и р_в ср — приведен ниже.

Парциальное давление водяных паров на поверхности воды при 37,8°С:

Парциальное давление водяных паров в газовом потоке: Парциальное давление воздуха на поверхности раздела фаз:

Парциальное давление воздуха в газовом потоке:

Среднее парциальное давление воздуха:

Коэффициент массопсредачи:

Количество испаряющейся воды в соответствии с уравнением (4.43):

Скорость испарения воды:

По опытным данным L= 0,865 кг/ч.

Пример 2. Диффузия в турбулентном потоке. Вывод уравнения подобия (J_D) [2].

Экспериментально определена зависимость для скорости испарения воды с поверхности влажных круглых дисков различных диаметров:

где и — скорость испарения, г Н₂0/(см²с); р — давление водяных паров при температуре на поверхности диска, мм рт. ст.; рг — парциальное давление водяных паров в воздушном потоке, мм рт. ст.; со — скорость воздуха, см/с; d- диаметр диска, см.

Температура воздуха при атмосферном давлении 25 °C.

Приведем эмпирическую зависимость к критериальному виду (табл.

4.1), приняв показатель степени для критерия Шмидта (Sc) равным —, с целью использования формулы для расчета скорости испарения других жидкостей с поверхности диска.