Динамика и устойчивость стержневых систем

В гл. 14 рассматривались колебания систем с одной степенью свободы. В этой главе рассмотрим колебания систем с большим числом степеней свободы. Такой расчет потребует применения метода конечных элементов.

Уравнение движения системы с п степенями свободы

Уравнение движения системы можно получить с помощью известного в теоретической механике уравнения Лагранжа второго рода.

В этом уравнении Я — потенциальная энергия системы тел; Т — кинетическая энергия; Ф — функция Рэллея, учитывающая рассеивание энергии.

В матричном виде Я, Г, Ф можно записать следующим образом:

где Д' = дД/Э/ — скорость узлового перемещения А; [А'] — матрица жесткости системы; [Л/] — матрица масс, [Я] — матрица диссипации (рассеивания энергии).

Подставляя выражения (24.2) в уравнение Лагранжа (24.1), после упрощения получаем.

Уравнение (24.1) представляет собой уравнение движения системы с п степенями свободы. Напомним уравнение движения системы с одной степенью свободы [см. (14.1)1:

где и — перемещений точки; т — масса тела; И — коэффициент затухания колебаний (рассеивания энергии); к — жесткость системы.

Система имеет одну степень свободы, если масса системы сосредоточена в одной точке и перемещение происходит по одному направлению.

Выражения (24.3) и (14.1) по смыслу и по виду аналогичны. Фактически параметры т, И, к заменены матрицами [Л/], [Я], [А']. Перемещение точки и, в которой сосредоточена масса /и, заменено вектором узловых перемещений {А} системы, в узлах которой сосредоточены массы (компоненты матрицы [Л/]).

В обоих выражениях первое слагаемое учитывает силы инерции, второе слагаемое — силы сопротивления движению (затухание колебаний), третье слагаемое — упругие силы, правая часть обоих выражений — вынуждающие силы, если они есть.

Определение матрицы жесткости системы [А'] приведено в п. 22.2.1. Теперь предстоит определить матрицу масс [М] и матрицу диссипации [Я|.