Исследование функции

1. Исследовать функцию и построить ее график

Решение

1. Область определения.

Все предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, — т. е. операции сложения и возведения в натуральную степень — выполняются при любых значениях аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если, Таким образом, .

2) Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т. е. у=0:

— точка пересечения с осою ОХ.

С осью ОУ т. е. х=0:

— точка пересечения с осою ОУ.

3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f (-x) = f (x), то функция четная, если f (-x) = - f (x), то функция нечетная, при хD (y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция четная.

4) Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальные асимптоты.

Поскольку вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции, единственным «кандидатом» в нашей задаче является прямая х=-3 и х=3.

Следовательно х=-3 и х=3 точки разрыва 2_го рода и х=-3 и х=3 — вертикальные ассимпноты.

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид

где; .

В частности, получается, что если, а при этом существует, по этим формулам находится горизонтальная асимптота .

Выясним наличие наклонных асимптот.

;

Наклонных асимптот нет.

5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности. Действуем по следующей схеме.

Вычислим первую производную данной функции:

— точки подозрительные на экстремум.

Исследуем поведение функции справа и слева от подозрительных точки и точек в которых функция не существует.

Значит на промежуткефункция убывает, а на промежутке и функция возрастает.

Занесем полученные данные в таблицу:

— точка минимума.

6. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Для этого поступаем так.

Вычислим вторую производную данной функции:

(0; 0) — точек подозрительная на перегиб нет.

Исследуем поведение функции справа и слева от точек в которых функция не существует.

2. Задание 2

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Решение

Сделаем чертеж:

Вычислим площадь полученной области с пределами интегрирования

функция экстремум график площадь

Ответ:

3. Задание 3

1. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением

Решение

Вычислим длину дуги кривой по формуле:

Ответ: