Размерность конечных упорядоченных множеств
Пусть В — непустое подмножество упорядоченного множества А. Элемент аА называется верхней гранью для В, если ва для всех вВ. Точной верхней гранью В называется наименьший элемент множества всех верхних граней В в А, его обозначают sup B. Точная нижняя грань определяется аналогичным образом и обозначается inf B. Заметим, что если а<�в, то из точки, а по ребрам, двигаясь вверх, можно добраться… Читать ещё >
Размерность конечных упорядоченных множеств (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ Выпускная квалификационная работа
РАЗМЕРНОСТЬ КОНЕЧНЫХ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ
Выполнила студентка V курса математического факультета
Артемьева Е.П.
/подпись/
Научный руководитель:
доктор ф.-м. наук, профессор Вечтомов Е.М.
/подпись/
Рецензент:
кандидат ф.-м. наук, доцент Чермных В.В.
/подпись/
Допущен к защите в ГАК Зав. кафедрой Вечтомов Е.М.
(подпись)
2003 г.
Декан факультета Варанкина В.И.
(подпись)
2003 г.
Киров, 2003 г.
- Содержание
- Введение 3
- § 1.Основные понятия 4
- §2.Определение размерности упорядоченного множества 9
- §3.Свойства размерности конечных упорядоченных множеств 14
- Литература 22
Теория множеств служит фундаментом современной математики.
Порядковая структура входит в список основных (ещё алгебраическая и топологическая) математических структур, которые изучает теоретико-множественная математика.
При написании этой дипломной работы мы задавались целью — изучить порядковую структуру и элементы алгебраической теории решёток, сформировать углублённое представление о размерности упорядоченных множеств, познакомиться со свойствами размерности конечных упорядоченных множеств, сформулировать новые свойства и доказать их.
Язык упорядоченных множеств и решёток широко применяется в математике (алгебра, логика, теория множеств, общая топология, графы) и является основой одного из важнейших типов математического мышления.
Дипломная работа состоит из трёх параграфов: «Основные понятия», «Определение размерности упорядоченных множеств», «Свойства размерности конечных упорядоченных множеств».
В первом параграфе определяются основные понятия, с которыми нужно ознакомиться для дальнейшей работы и устанавливаются связи между ними. Большое число примеров позволяет достаточно глубоко понять суть рассматриваемых понятий.
Во втором параграфе рассматриваются только конечные множества. И особое внимание уделяется на линейный и нелинейный порядок. Формулируется и доказывается теорема об их связи. На основе этого появляется понятие размерности.
В третьем параграфе указаны 6 основных свойств размерности конечных упорядоченных множеств и приведены их доказательства. Некоторые из них оформлены в виде теорем.
§ 1.Основные понятия
Ш элементы множества, А изображаются точками;
Ш точки, а и в соединяются ребром — идущим вверх отрезком, не обязательно вертикальным, если а<�в и между ними нет других элементов из А;
Ш при этом все минимальные элементы, А располагаются на одной горизонтали и образуют — первый уровень;
Ш выше находятся минимальные элементы множества А, из которого удалены точки первого уровня, они образуют второй уровень;
Ш еще выше идет третий уровень, состоящий из минимальных элементов множества, полученного удалением из, А элементов второго и первого уровней, и т. д.
Заметим, что если а<�в, то из точки, а по ребрам, двигаясь вверх, можно добраться до точки в. Полученный граф назовем стандартным графом (диаграммой Хассе) упорядоченного множества А. Изоморфные упорядоченные множества имеют одинаковые стандартные графы, а неизоморфные — различные.
Приведем графы упорядоченных 4-х элементных множеств.
Следует обратить внимание на то, что из любой точки стандартного графа конечного упорядоченного множества можно по рёбрам спуститься на первый уровень, побывав на всех промежуточных уровнях. Т. е. среди стандартных графов не может быть такого, например, графа:
А должен быть такой
Длиной конечного упорядоченного множества, А будем называть наибольшее из чисел элементов цепей А. Видно, что длина, А равна числу уровней его стандартного графа.
Шириной А называется наибольшее из чисел элементов антицепей в А. Ширина, А будет не меньше числа элементов любого уровня этого графа.
Замечание: число элементов любого конечного упорядоченного множества не превосходит произведения его длины на ширину.
Пусть В — непустое подмножество упорядоченного множества А. Элемент аА называется верхней гранью для В, если ва для всех вВ. Точной верхней гранью В называется наименьший элемент множества всех верхних граней В в А, его обозначают sup B. Точная нижняя грань определяется аналогичным образом и обозначается inf B.
Упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное множество обладает тачной верхней и точной нижней гранью называется решёткой.
Любая конечная решётка обладает наибольшим и наименьшим элементами. Среди графов 5-ти элементных множеств, только пять решёток.
В нашей дипломной работе пойдёт речь ещё и прямом произведении конечных упорядоченных множествах. Поэтому объясним, что это такое.
Ч.т.д.
Свойство размерности дизъюнктивного объединения: Пусть, А и В — конечные упорядоченные множества и X=AB. Тогда d (X)=max (d (A), d (B)), если хотя бы одно из множеств, А или В не является цепью, и d(X)=2, если, А и В — цепи.
Доказательство:
Дизъюнктивным объединением упорядоченных множеств, А и В (АВ) называется упорядоченное множество, состоящее из непересекающихся объединяемых множеств, на каждом из которых сохраняется свой порядок, а элементы из разных множеств попарно несравнимы.