Интегральная теорема Муавра — Лапласа

Если вероятность р появления некоторого события в каждом испытании постоянна, причем 0 р п достаточно велико, то вероятность того, что это событие наступит не менее Л, раз и не более к2 раз приближенно равна.

Таблица функции Лапласа для положительных значений х (05x⁵) приведена в таблице прил. 2; для значений х>5 принимают Ф (х) * 0,5. Для отрицательных значений х функцию Ф (х) находят по этой же таблице, учитывая, что Ф (х) нечетная функция, т. е. Ф (-х) = -Ф (х). Приближенное равенство тем точнее, чем больше п.

Пример 4.9. Вероятность того, что шприц разового применения не прошел проверку ОТК, равна р = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных шприцов окажется непроверенных от 70 до 100 шприцов.

Решение. По условию р = 0,2, q = 0,8, к_{ = 70, =100. Число испытаний достаточно велико п = 400, поэтому воспользуемся интегральной теоремой Муавра — Лапласа.

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

По таблице прил. 2 найдем

Искомая вероятность того, что среди 400 шприцов окажется непроверенных от 70 до 100 шприцов:

Пример 4.10. Вероятность рождения мальчиков в каждой 1000 новорожденных постоянна и равна р = 0,5. Найти вероятность того, что мальчиков среди новорожденных: а) не менее 465 раз и не более 550 раз; б) не менее 465 раз; в) не более 464.

Решение, а) По условию задачи и = 1000, р = 0,5, к_] =465, к₂ = 550, q = 0,5. Подставляя исходные данные, получим.

По таблице поил. 2 найдем

Искомая вероятность события — «мальчиков родилось не менее 465 раз и не более 550 раз» равна.

б) Требование, чтобы рождение мальчиков было не менее 465 раз, означает, что число рождений мальчиков может быть равно 465, либо 466,…, либо 1000. Следовательно, в данном случае следует принять к =465, к₂ = 1000. Тогда.

По таблице прил. 2 найдем Ф (дг') = Ф (-2,21) = -Ф (2,2]) =-0,4864, для х" = 32 полагаем Ф (х") = Ф (32)" 0,5 (напомним, что для значений х > 5 можно считать Ф (х)" 0,5).

Искомая вероятность того, что среди новорожденных не менее 465 мальчиков

в) События — «мальчиков родилось не менее 465 раз» и «мальчиков родилось не более 464 раз» противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице.

Следовательно, вероятность события — «мальчиков родилось не более 464 раз» равна

Если задача не требует большой точности ответа, то интегральную теорему Лапласа можно использовать и в случаях, когда произведение npq невелико, но все-таки больше 20. В противном случае следует воспользоваться формулой Бернулли.

В случаях, когда п велико, а р мало, применение формулы Бернулли вызывает затруднение, поэтому часто ограничиваются формулой Пуассона.