Исследование функций одной переменной, построение графиков, вычисление пределов, производных, неопределенных и определенных интегралов, суммирование числов

Санкт-Петербургский Государственный Морской Технический Университет Кафедра Математики Курсовая работа по математическому анализу

" Исследование функций одной переменной, построение графиков, вычисление пределов, производных, неопределенных и определенных интегралов, суммирование числовых рядов с применением пакетов прикладных программ"

Выполнил:

студент группы 7110

Улащенко Л. Е.

Преподаватель:

Володичева М. И.

Санкт-Петербург

Найти:

Ответ:

Найти:

Ответ:

Найти:

Мы находим левосторонний предел:

Ответ:

Найти:

Мы находим правосторонний предел:

Ответ:

Найти:

По необходимому и достаточному условию существования предела в точке, левосторонний и правосторонний пределы должны быть равны. Из неравенства пределов в номерах 3 и 4, следует, что предела в данной точке не существует.

Ответ: Предела не существует.

Найти первую, вторую и пятую производные функции:

Найдём первую производную:

Упростим ответ:

Найдём вторую производную:

Упростим ответ:

Найдём пятую производную:

Упростим ответ:

Ответ: =; =; =

Найти вторую производную от функции, заданной параметрически:

x = e^t/(1 + t)

y = (t — 1) e^t

Найдем первую производную по формуле:

Найдём вторую производную:

Ответ:

Провести исследования функций: найти точки экстремума, промежутки возрастания и убывания функций, точки перегиба, промежутки выпуклости вверх и вниз, ассимптоты, построить графики функций и асимптот.

)

Область определения: xR

Найдём точки пересечения с осью абсцисс:

Точки с координатами (3;0) и (0;0)

Найдём точки пересечения с осью ординат:

Точка с координатами (0;0)

Найдём первую производную:

Найдём корни первой производной:

и точки, в которых производная равна бесконечности и не существует

x= 2 и x =3 — точки подозрительные на экстремум.

Вычислим значения второй производной в этих точках и сравним их с нулём:

2 — точка локального минимума.

Найдём промежутки возрастания и убывания функции:

Промежуток возрастания.

Промежуток убывания.

Найдём вторую производную:

Найдём корни второй производной — точки, подозрительные на перегиб:

Такие точки отсутствуют.

Найдём промежутки знакопостоянства второй производной:

Промежутки выпуклости вверх.

Промежутки выпуклости вниз.

Найдём наклонные асимптоты, пользуясь формулой

Уравнение наклонной асимптоты.

Построим графики функции и асимптоты:

9)

Область определения: xR

Найдём точки пересечения с осью абсцисс:

Точки с координатами (1;0), (2;0), (3;0), (4;0), (5.1; 0)

Найдём точки пересечения с осью ординат:

Точка с координатами (0;0)

Найдём первую производную:

Найдём корни первой производной:

x= 1.35 624; 2.4577; 3.54 871; 4.71 735 — точки, подозрительные на экстремум.

Вычислим значения второй производной в этих точках и сравним их с нулём:

Точка локального минимума.

функция предел производная асимптота Точка локального максимума.

Найдём промежутки знакопостоянства первой производной:

Промежутки возрастания функции.

Промежутки убывания функции.

Найдём вторую производную:

Найдём корни второй производной — точки, подозрительные на перегиб:

Исследуем полученные точки:

Точки перегиба отсутствуют.

Найдём промежутки знакопостоянства второй производной:

Промежутки выпуклости вниз.

Промежутки выпуклости вверх.

Найдём наклонные асимптоты, пользуясь формулой

Наклонные асимптоты отсутствуют.

Построим общий вид графика функции:

Сузим промежуток построения графика, для более наглядного рассмотрения точек экстремума:

Область определения: tR/{-1,1,0}

Найдём первую производную :

Найдём промежутки монотонности :

Найдём вертикальные асимптоты:

Найдём горизонтальные асимптоты:

Найдём наклонные асимптоты по формулам:

Уравнение наклонной асимптоты:

Исследуем поведение графика:

Построим график функции и асимптот:

Вычислить:

Ответ:

Вычислить:

Ответ:

Вычислить:

Система функций имеет устранимый разрыв в точке х=0, при равенстве и .Для устранения разрыва, ко второму уравнению добавляется константа. Таким образом система функций при и при становится первообразной на всей действительной оси при одинаковых константах C.

Ответ: при и при >0

Вычислить:

Ответ:

Вычислить:

Ответ:

Привести уравнение кривой к каноническому виду, построить кривую, найти площадь фигуры ограниченной кривой:

Перейдем к новым координатам x1=x-1:

Преобразуем его и получим уравнение эллипса:

Построим его:

Вычислим его площадь:

Ответ:

Привести уравнение кривой к каноническому виду, построить кривые, найти объём тела вращения, образованного при вращении относительно прямой y=1 фигуры, ограниченной линиями:

Перейдём к новым координатам x1= x+1 и y1 = y-1:

Упростим полученное уравнение и получим каноническое уравнение гиперболы:

Построим кривую и прямую:

Найдём пределы интегрирования, точки пересечения гиперболы с прямой y=6:

Найдём объём цилиндра с осью y=0 и образующей y=6:

Найдём объём, ограниченный однополостным гиперболоидом при вращении его вокруг оси ординат:

Найдём объём искомой фигуры: вычтем из объёма цилиндра объём гиперболоида:

Ответ:

18) Привести уравнения кривых к каноническому виду, построить кривые, найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:

Перейдём к новым координатам x1= x+1 и y1 = y-1:

Построим кривые, по полученным уравнениям:

Найдём точки пересечения графиков:

Найдём площадь искомой фигуры:

Ответ:

Построить кривую и найти её длину:), ,

Построим кривую:

Вычислим её длину:

Ответ: 72

Построить кривую, и найти её длину: p=

Построим график:

Вычислим её длину:

Ответ: 8

Построить кривую, найти площадь фигуры, ограниченной ею:

Построим фигуру:

Найдём её площадь:

Ответ:

Построить кривую, найти площадь фигуры, ограниченной ею: ;

Построим её график:

Найдём её площадь:

Ответ:

Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега. С миноносца нужно отправить гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега. Если гонец может делать пешком по 5 км/час, а на веслах по 4 км/час, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

Найдём уравнение для времени:

Найдём корни первой производной — точки, подозрительные на экстремум:

Убедимся, что 12 — максимум функции, и ответ к данной задаче:

Ответ: Гонец должен пристать на расстоянии 3 км от лагеря Найти координаты центра масс дуги цепной линии y=a*ch (x/a), содержащейся между точками с абсциссами и

Найдём первую производную:

Воспользуемся формулами, для вычисления центра масс:

Ответ: (0; 1.197 a)

Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что на поверхности воды лежит вершина, а основание параллельно поверхности воды. Основание пластинки равно [а], а высота равна [h]. Найти силу давления на каждую из сторон пластинки.

Найдём силу давления на участок пластинки :

Найдём силу давления на всю пластинку:

Ответ:

Вычислить сумму ряда с заданной точностью, указать n — наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность суммы ряда.

Рассмотрим общий член ряда и найдём первый член ряда, который по модулю меньше погрешности:

Вычислим сумму первых 5 членов ряда и найдём её приближённое значение, с точностью до тысячной:

Ответ: -0.393