Системы обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнения с запаздывающим аргументом

Многие математические модели естествознания описываются с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности = №, х1,., хп), г = 1 п" 1. (1).

К таким системам приводят также классические способы построения приближенных решений краевых задач для уравнений с частными производными (например, методы Фурье, Галеркина и т. д.). Поэтому изучению систем высокой размерности (задача Коши, краевые задачи, методы построения решений, качественные свойства решений, теория устойчивости) посвящено очень много работ (см., например, монографии [3,6,20] и имеющуюся в них библиографию). При этом совершенно естественно рассматривать системы (1), как «укороченные» системы счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

1х ¦ 1, гг2,.),? = 1,2,. (2).

Отметим, что построение теории счетных систем дифференциальных уравнений началось с появления знаменитой работы А. Н. Тихонова [39], в которой впервые были доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для (2). Активные исследования таких систем начались в 50-е годы после работ М. А. Красносельского, М.Г. Крей-на, С. Г. Крейна, К. П. Персидского и др. (см., например, [6,18,36]). Во многих работах результаты получались с использованием методов функционального анализа и «укороченных» систем дифференциальных уравнений вида (1), имеющих высокую размерность.

Другой подход к изучению систем высокой размерности (1) заключается в сведении к исследованию систем обыкновенных дифференциальных уравнений малой размерности. Однако существует целый ряд важных научных задач, которые принципиально не могут быть сведены к исследованию систем дифференциальных уравнений малой размерности (см., например, [1]). В частности, к системам очень высокой размерности приводят исследования в биологии (см., например, [10,23,42]). При этом размерность систем может достигать настолько больших величин, что нахождение численных значений компонент решений на компьютере •при непосредственном решении системы зачастую невозможно.

Приведем два примера таких систем дифференциальных уравнений, возникающих при моделировании многостадийного синтеза вещества [10, 21]. Общим для этих систем является тот факт, что каждая из них может иметь очень высокую размерность 105, 106 и более).

Вначале рассмотрим следующую почти линейную систему дифференциальных уравнений, моделирующую многостадийный синтез вещества без учета обратимости процесса: где dx ~dt 71 — 1 т п- 1.

Ап — Апх + F (t, х), 0 п- 1.

3) о о V о п- 1 т.

71 — 1 Т 0.

— 0 x{t) = {xl (t), x2{t),., xn{t))T, Fit, x) = (g (t, xn), 0,., 0) T.

Процесс синтеза состоит из п стадий, т — суммарное время протекания стадий. Компоненты хi (t) искомой вектор-функции x (t) определяют концентрацию вещества на г-й стадии процесса. Первое нелинейное уравнение системы (3) определяет закон инициации синтеза вещества, последнее уравнение задает закон деградации вещества (параметр в > 0), остальные уравнения характеризуют скорость изменения концентрации вещества на промежуточных стадиях (см. [10]).

Система дифференциальных уравнений (3) является упрощенной моделью синтеза. При описании реальных процессов зачастую возникают нелинейные дифференциальные уравнения, соответствующие промежуточным стадиям. Следующая система дифференциальных уравнений для моделирования многостадийного синтеза вещества без учета обратимости, но с учетом нелинейной динамики процесса, имеет вид.

7 = 2,., 72 — 1, (4) dxn п — 1 х—1 dt где 9 > 0, т, р, 7 > 0, функция g (t, z) неотрицательна (см. [10,22]). Компоненты Xi (t) определяют концентрацию вещества на г-й стадии процесса. Очевидно, при р = 0 система (4) совпадает с (3).

Отметим, что процесс синтеза вещества может иметь сотни тысяч промежуточных стадий. Следовательно, уже при изучении модели (3) исследователь сталкивается с серьезными трудностями, поскольку система может иметь огромное число уравнений. Но тогда построение с помощью компьютера приближенного решения задачи Коши для такой системы представляет серьезную проблему.

Следует подчеркнуть, что в задаче синтеза вещества биологов прежде всего интересует концентрация конечного продукта. Поэтому, рассматривая, например, систему (3), нужно уметь достаточно точно вычислять последнюю компоненту решения xn (t) при n ^ 1. Но из вида системы вытекает, что ни одним из ее уравнений пренебречь нельзя. Кроме того, эту систему нельзя рассматривать как «укороченную» некоторой счетной системы (2), так как коэффициенты системы являются неограниченными при п —> оо. Следовательно, при рассмотрении почти линейной системы (3) с очень большим числом уравнений может возникнуть «проблема большой размерностиРазумеется, эта проблема возникает и при решении систем более общего вида (4).

Для системы (3) эта проблема была решена в 2002 г. в результате совместной деятельности Г. В. Демиденко, В. А. Лихошвая и С. И. Фадеева. Метод ее решения основан на установленных связях между решениями системы (3) и решениями уравнения с запаздывающим аргументом. Предположение о возможных связях между последней компонентой решения системы (3) (при g (t, z) = g (z), п «1) и решением уравнения б было высказано В. А. Лихошваем, исходя из биологических соображений. Численные расчеты, проведенные С. И. Фадеевым для конкретных систем, подтверждали это предположение. Строгое математическое доказательство существования таких связей впервые установлено Г. В. Деми-денко и опубликовано в совместной работе [21] (см. теоремы 1−4). Как отмечено в [9], «с математической точки зрения гипотезу о наличии связей между компонентой xn (t) решения системы (3) и решением уравнения (5) можно было высказать, проводя параллель с исследованиями [19,37,38,48]». В этих работах изучался обратный вопрос об аппроксимации решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с помощью решений специального класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности.

В дальнейшем нам понадобятся некоторые результаты Г. В. Демиден-ко, поэтому мы дадим их краткое описание.

Для пояснения способа решения отмеченной проблемы для системы (3), рассмотрим серию задач Коши dx. = Anx + F (t, x), t> О, xt=Q = х°, п> Щ.

Предположим, что функция g (t, z) € С (М^) ограничена и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу z1) — g (t, z2)| < Lzl — z21, t > 0, z1, z2 e Ш.

Будем неограниченно увеличивать размерность системы (3) и для простоты рассматривать для каждой системы задачу Коши (6) с нулевыми начальными условиями xt=o = 0. Ясно, что при любом п задача Коши однозначно разрешима на произвольном отрезке [0,Т]. Рассматривая только последнюю компоненту решения каждой из задач Коши, получим последовательность функций {x™{t)} (верхний индекс означает число уравнений в системе, нижний — номер компоненты решения). Справедлива следующая теорема.

Теорема 1 (Г.В. Демиденко). Последовательность {x^t)} равномерно сходится на любом отрезке [0,Т]., Т > т: xnn{t) -)• y (t), п оо.

1 4.

Предельная функция y{t) является решением начальной задачи для уравнения с запаздывающим аргументом ^ = -9y (t) + g{t — г, y{t — г)), t > г, < y (t) = 0, t е [0,7-], W у (т + 0) = О, при этом справедлива оценка max K (t) — y{t)| < n > n0, (8) где константа с > 0 зависит от функции g (t, z), величины Т и параметров т,.

Теорема 1 дает обоснование очень простого, но эффективного метода численного нахождения концентрации конечного продукта xn (t) при 1с использованием уравнения с запаздывающим аргументом. Именно, для численного нахождения значений xn (t) достаточно приближенно решить начальную задачу (7), при этом, учитывая скорость сходимости (8), можно оценить погрешность аппроксимации xn (t) «y (t) при п 1. Отметим, что решение y{t) начальной задачи для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом нетрудно построить, используя метод шагов (см., например, [35,41,44]). Очевидно, чем большее количество стадий п требуется для получения конечного продукта синтеза, тем точнее можно получить результат, следуя этому методу. Отметим, что при не слишком больших значениях п (до порядка 104 —105) достаточно хорошие результаты можно получить, численно решая задачу Коши (6) с использованием стандартных математических пакетов.

Теорема 1 послужила основой при доказательстве ряда предельных теорем для различных классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [7−9,11−15,17,24−34,45−47,50]). Г. В. Демиденко предложил ряд методов для доказательства таких теорем. В частности, некоторые из этих теорем могут быть установлены с использованием простого способа. Его идея заключается в том, чтобы исследуемую систему дифференциальных уравнений = *" (*. 2) (9) I 1 записывать как возмущение исходной системы (3), а затем сравнивать последние компоненты решений задач Коши для систем (3) и (9). Если при неограниченном увеличении числа уравнений из соответствующих оценок вытекает сходимость.

КСО-ЗКОНО, п->оо, ге[о, т], (ю) то в силу сформулированной теоремы 1 нахождение приближенных значений последней компоненты решения системы (9) при = 0, п 1, сводится к решению задачи (7).

Согласно такому методу сравнения для получения эффективного способа численного нахождения значений последней компоненты решений систем (9) высокой размерности достаточно установить сходимость (10). В ряде случаев описанный метод позволяет достаточно просто доказывать предельные теоремы для различных классов систем дифференциальных уравнений большой размерности (см., например, [24,25,30]).

Отметим, что описанный выше метод приближенного нахождения концентрации конечного продукта х™(Ь) обобщается на случай ненулевых начальных данных, но для этого нужно доказать соответствующие предельные теоремы. Однако в отличие от нулевых начальных условий здесь возникает интересная особенность, заключающаяся в том, что, вообще говоря, нет равномерной сходимости последовательности, но сходимость можно гарантировать в пространстве Ьр (0,Т), 1 < р < оо. При этом предельная функция у{Ь) будет обобщенным решением некоторой начальной задачи для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом, имеющем на промежутке (0, т] разрывы первого рода.

Продемонстрируем это на простом примере, когда вектор начальных данных в задаче Коши (б) имеет первые I компонент, отличных от нуля, а все остальные компоненты — нулевые, т. е. хп,° = К •., аи 0,. • •, 0) т, щ ф 0, г = 1(И).

Как и ранее, рассмотрим на отрезке [0,Т], Т > т, последовательность функций {я" (£)}> состоящую из последних компонент решений задач вида (6). Справедливо следующее утверждение [46].

Теорема 2. Последовательность {^(?)} является сходящейся в пространстве Ьр (0,Т), 1 < р < оо:

К (0 — 0, Г)|| 0, п -> оо, (12) при этом предельная функция y (t) принадлежит соболевскому пространству Wp (r, T) и является обобщенным решением начальной задачи ^ = -Ш + 9(t — Г, y (t — г)), t > г, < y (t) = 0, *е[0,т), (13) у (т + 0) = ai Н——-h at.

Принимая во внимание теорему 2, нахождение приближенных значений последней компоненты решения системы (3) при п 1, имеющего начальные условия (11), мы сводим к решению начальной задачи (13). Ясно, что для получения оценки погрешности такой аппроксимации xn (t) ж y (t) достаточно оценить скорость сходимости (12).

В настоящее время имеется большой цикл работ (см. обзарную статью [9]), в которых исследуются различные связи между решениями классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности (1) и дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Настоящая диссертация посвящена изучению таких связей. В работе исследованы связи между решениями системы (3) и уравнения.

Ш = -0уУ)+д (г-7-Mt-т)), t > т, (14) в частности, получены новые оценки аппроксимации xn (t) ~ y (t). Также рассмотрены два класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности (1), для которых доказан ряд предельных теорем, устанавливающих связи между их решениями и решениями начальных задач для уравнения (14).

Остановимся подробнее на содержании диссертации. Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе настоящей диссертации рассмотрена серия задач Ко-ши (6) для системы (3) при ненулевых начальных условиях. Основная цель главы — описание предельных свойств последовательности при различных начальных данных в (6), получение оценок и описание поведения решения при t —> со.

Первая глава состоит из девяти параграфов. В первом параграфе описывается рассматриваемая система. В следующих двух параграфах доказываются вспомогательные утверждения. Во втором параграфе для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6) приведена эквивалентная ей система интегральных уравнений. В третьем параграфе получен ряд оценок, которые используются при доказательстве предельных теорем.

Четвертый параграф первой главы посвящен доказательству предельных теорем для последовательности {x^it)}. Сформулируем основные результаты, доказанные в этом параграфе. Напомним, что на параметры системы (3) выполнены следующие условия 9 > 0, т > 0, функция g{t, z)? C (R2b) ограничена и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу.

Вначале рассмотрим последовательность задач Коши вида (6), предполагая, что векторы начальных данных имеют последнюю компоненту, отличную от нуля, а все остальные компоненты — нулевые, то есть векторы начальных данных в (6) имеют вид xnt=o = хп,° = (0,., 0, а) т. (15).

Неограниченно увеличивая число уравнений и рассматривая только последние компоненты решений каждой из задач Коши вида (6), получим последовательность функций }.

Теорема 1.4.1. Пусть начальные условия в (6) имеют вид (15). Тогда последовательность {x™{t)} равномерно сходится на любом отрезке [О, Т}, Т>т: xnn (t) ->• y (t), ть —у оо.

Предельная функция y (t) является решением следующей начальной задачи.

— = -Oy (t) + g (t-T, y (t-r)), t>T, < y{t) = ae-et, t€[0,r], (16) У (т + 0) = ае~вт, при этом имеет место оценка max xnn (t) — y (t)| < n> щ (в, r), (17) где константа c> 0 не зависит от п.

Замечание. По аналогии с теоремой 1.4.1 оценка (8) из теоремы 1 может быть улучшена. А именно, вместо неравенства вида (8) может быть доказано неравенство вида (17).

Рассмотрим последовательность задач Коши вида (6) с другими начальными данными. Справедлив следующий результат.

Теорема 1.4.4. Пусть n = ml + l, Q.

Тогда для любого Т > г для последовательности имеет место сходимость.

K (i)-2/(i), Lp (0,T)||->0, 7i у оо, предельная функция y (t) принадлежит пространству Г) и является обобщенным решением начальной задачи = + g (t-т, y{t-г)), t>r, y (t) = о, t е [о, «ит), y (t) = te («**r, r],.

-v-tr У{т + 0) = ае.

Из доказательства этой теоремы вытекает оценка скорости сходимости..

Следствие. В условиях теоремы 1−4-4 пРи п > справедлива оценка х" п{1)-уЦ), ЬГ (Ъ, Т)\ где ч Г 1/р, 1 < V < 2, я (р) = 1, (19).

I ½, Р > 2, константа с > 0 не зависит от п..

Следующая теорема показывает, что при малых начальных данных последовательность как и в случае нулевого начального вектора хп'° = 0, сходится к решению начальной задачи (7)..

Теорема 1.4.7. Пусть начальный вектор хп,° в (6) такой, что ст>0з=1.

Тогда последовательность равномерно сходится на любом отрезке [О, Т], Т > т, предельная функция у{{) является решением начальной задачи (7)..

Следствие. В условиях теоремы 1.4.7 при п > щ{в, т) справедлива оценка.

1ф, т] пк ' чл п1'2 па где константы с, > 0 не зависят от п..

Возникает естественный вопрос: что можно сказать о сходимости, если начальные данные в задаче Коши (6) имеют более общий вид? Для того чтобы ответить на этот вопрос введем некоторые обозначения. Рассмотрим две последовательности начальных векторов {хп'°} и Пусть (^п (^)} ~ последовательность, составленная из последних компонент решений задач Коши вида (6) с начальными векторами из последовательности {¿-сп'°}. Будем предполагать, что последовательность является сходящейся в пространстве Ьр (О, Т) при этом, предельная функция ?/(?) принадлежит пространству И^(т, Т) и является обобщенным решением начальной задачи у (*) = ?(*), te[0,r), < у (г + 0) = а..

Аналогично, последовательность {?" (?)}, составленная из последних компонент решений задач Коши вида (6) с начальными данными хп,°, сходится в Ьр (О, Т) к обобщенному решению y (t)? И^(г, Т) начальной задачи ^ = + - г, y (t — г)), t > т, k г/(т + о) = й..

Справедлива следующая теорема..

Теорема 1.4.8. Пусть начальные данные в задаче Коши (6) имеют.

Тогда для любого Т > г для последовательности {#" (?)} имеет место сходимость.

Замечание. Из теорем 1.4.7, 1.4.8 следует, что при «малых» возмущениях начальных данных в задаче (6) сходимость последовательности {хп (1)} к решению уравнения с запаздывающим аргументом сохраняется. Однако при малых значениях параметра, а > 0 скорость сходимости может значительно замедлиться..

В пятом параграфе первой главы рассматривается поведение решения задачи (6) при? —> оо. При этом на параметры задачи накладываются дополнительные ограничения: где L — константа Липшица для функции g{t, z). Кроме того считаем, что вид хщ0 gn, о ~п,.

О < L < в,.

20) рМ) = о..

21).

При этих условиях имеет место теорема..

Теорема 1.5.1. Нулевое решение задачи Коши (6) асимптотически устойчиво и имеют место следующие оценки п к=1 хпМ<�с^х?е-6 ?>0,.

А-=1 где х— компоненты начального вектора, Гв-Ь 1 в+Ь.

В шестом параграфе при выполнении условий (20), (21) доказаны аналоги теорем 1.4.1−1.4.8 на полуоси {? > 0}. Основной результат этого параграфа заключается в следующем..

Теорема 1.6.3. Пусть последовательность начальных векторов {я" '0} в задаче (6) такая, что последовательность {#" (?)}, составленная из последних компонент решений задач Коши вида (6), сходится на отрезке [0,Т], Т > т, к решению начальной задачи для уравнения с запаздывающим аргументом^йГ = + ~ т' ~ т))' 1 > г' у (ь) = ф), *е[о, г], (23) к у (г + 0) = а, для некоторой кусочно-непрерывной начальной функции ц>{Ь). Пусть выполнены условия (20), (21). Тогда прип > по (в, т) справедлива оценка.

Е1 п, 0| I где константа с > 0 не зависит от п и начального вектора хп'° = • • • функция д (р) имеет вид (19). При этом хпп{1) — у (г), ¥-}(т, оо)|| ^ 0, п оо. р.

В седьмом параграфе изучена непрерывная зависимость решений уравнения с запаздывающим аргументом (14) от начальных условий..

Теорема 1.7.1. Пусть выполнено условие (20). Пусть также (р{1), <Р2(£) — кусочно-непрерывные функции на отрезке [0, т] с конечным числом точек разрыва, причем все разрывы первого рода. Пусть у{1), у2(¿-) — обобщенные решения задач ^ = -0у&-) + 9(1 — г, — г)), I > т, < = 0 <*<т, + 0) = а5, где у = 1,2 соответственно. Тогда имеет место оценка.

Ыг)-у2{1)^(т^)\ < с (а1 -а2 + \ipiit) -^(?),?р (0,т)||), где с > 0 — константа, не зависящая от начальных данных ц>{Ь), и а, а2..

В следующем параграфе доказана обратная теорема об аппроксимации любого решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом последней компонентой решения системы (3)..

Теорема 1.8.1. Пусть у (Ь) — решение начальной задачи (23) с кусочно-непрерывной начальной функцией которая имеет конечное число точек разрыва первого рода. Тогда функция у (Ь) может быть сколь угодно точно аппроксимирована решениями задачи Коши вида (6) при 71¹..

В последнем параграфе с использованием полученных ранее оценок показано, что решение уравнения с запаздывающим аргументом имеет такое же асимптотическое поведение, как функция.

Теорема 1.9.1. Пусть выполнены условия (20) и (21). Тогда нулевое решение начальной задачи (23) асимптотически устойчиво и имеет место оценка.

Ш<�се-5 *>т, где показатель 5 > 0 определяется (22)..

Вторая глава посвящена изучению связей между решениями системы дифференциальных уравнений г > о,.

24) где.

Л-п. п- 1.

-71 о о п п- 1 п О п.

-п.

П — 1.

Т, п п-1 о о п 1 т.- п п-1 о.

-0 и решений уравнения с запаздывающим аргументом (14). Эту систему можно рассматривать как возмущение системы (3) линейными членами. Результаты этой главы существенно опираются на результаты главы 1, обобщают их. Вторая глава состоит из четырех параграфов..

Как и ранее, предполагаем, что в > О, функция д (г, г) € С{Щ) ограничена и удовлетворяет условию Липшица по г. На коэффициенты т" системы выполнены следующие условия.

2 — Т < -, П т, т" > 0, j = l,., n- 1, р> 0..

Рассмотрим задачу Коши для системы (24).

Их л Апх + Р{г, х), ?>0, и ж|4=0 = Х°..

25).

Будем неограниченно увеличивать размерность системы п. При каждом п задача Коши (25) однозначно разрешима на любом отрезке [0, Т). Рассмотрим последовательность составленную из последних компонент решений задач Коши вида (25). Как и ранее, верхний индекс обозначает размерность системы, а нижний — номер компоненты решения..

Теорема 2.1.1. Пусть при любом п начальные условия в (25) нулевые. Тогда последовательность {?" (?)} равномерно сходится на любом отрезке [О, Т], Т > т: п.

Предельная функция y (t) является решением начальной задачи (7) для уравнения с запаздывающим аргументом..

Следствие. Имеет место оценка скорости сходимости max | xnn (t) — y (t) | < n> щ (в, г). (26).

Теорема 2.1.1 дает обоснование очень простого метода численного нахождения последней компоненты xn (t) решения системы (24) при 1. А именно, для численного нахождения значений xn{t) достаточно приближенно решить начальную задачу (7). Учитывая скорость сходимости (26), можно оценить погрешность аппроксимации xn (t) «y (t) при п >> 1. Очевидно, чем больше число уравнений п в системе, тем точнее можно получить результат, следуя этому методу..

Первый параграф посвящен доказательству теоремы 2.1.1. В этом параграфе также обсуждается вопрос об однозначной разрешимости задачи Коши (25) с нулевыми начальными данными в случае, если функция g (t, z) является функцией Хила.

9{t, z) = —^г, а>0, (3> 0, с > 1..

Случай ненулевых начальных данных рассмотрен во втором параграфе. В этом параграфе доказаны аналоги теорем 1.4.1 — 1.4.8. Сформулируем основные результаты..

Теорема 2.2.1. Пусть начальные условия в (25) имеют вид (0,., 0, а) Т..

Тогда последовательность {?" (?)} равномерно сходится на любом отрезке [0,Т], Т > т:.

Xn (t) ~> y (t), 71 —У (X)..

Предельная функция y (t) является решением начальной задачи (16). Следствие. Для скорости сходимости справедлива оценка вида (26)..

Теорема 2.2.4. Пусть n = ml + l, 0.

Тогда для любого Т > т для последовательности {?" (?)} имеет место сходимость.

K (i)-y (i), Lp (0,T)||->0, п У оо, предельная функция y (t) принадлежит пространству Wp (r, T) и является обобщенным решением начальной задачи (18)..

Следствие. В условиях теоремы 2.2.4 имеет место оценка скорости сходимости xnn (t)-y (t), Lp (0,T)\ < п > щ (0,т), где константы с > 0 не зависят от п, функция q (p) задается формулой (19)..

Справедлив следующий результат..

Теорема 2.2.7. Пусть {rcn'°} — такая последовательность начальных данных в (6), что последовательность сходится к решению y{t) € Wp (r, T) начальной задачи (23). Тогда последовательность (^п (^)}- составленная из последних компонент решений задач Коши вида (25) с начальными данными xn’Q, также сходится к y (t)..

Рассмотрим теперь начальную задачу для уравнения с запаздывающим аргументом (23): = -ey (t) + g (t-T, y (t-T)), t>r, < y (t) =.

М 2 т p (t) = e~et cm, Wm, k{tM + с0еЛ (27) m—0 k=1.

An, fc (s) — функции Хаара:.

Г 2m/2, se[(fel)2~m, {k — l/2)2″ m),.

Теорема 2.2.8. Пусть функция y{t) является обобщенным решением начальной задачи (23) с начальной функцией (27). Пусть п = 2M+ll—1. Тогда существует последовательность начальных данных в серии задач Коши вида (25) такая, что при I —У со последовательность {x™{t)} сходится xZ (t)-y (t), Lp (0,T)\^0..

При этом xnn (t)-y{t), Wl (r, T) ||->0..

Третий параграф посвящен изучению непрерывной зависимости решения начальной задачи (23) от начальных данных в случае, если начальная функция (p (t) кусочно-непрерывна на [0,т] и имеет конечное число точек разрыва первого рода. Получены оценки близости решений..

Теорема 2.3.1. Пусть i (i), <£>2СО — кусочно-непрерывные функции на отрезке [0, г] с конечным числом точек разрыва, причем все разрывы первого рода. Пусть yi (t), y2{t) — обобщенные решения задач ^ = -0yj (t) + g (t — г, yj (t — г)), t > г, < Vj (t) = Cfjit), t€[0,r],, Уз (т + 0) = aj, где j = 1,2 соответственно. Тогда имеет место оценка.

Iyi (t) — y2(t), W^r, T)\ < c (ai — а2 + \^{t) — 0 — константа, не зависящая от начальных данных tpiit), (p2(t) и а, а2..

В последнем параграфе этой главы доказано, что любое решение задачи (23) на произвольном отрезке [0, Т] может быть аппроксимировано последней компонентой решения системы (24) при достаточно больших п «1..

Теорема 2.4.1. Пусть y (t) — решение начальной задачи (23) с кусочно-непрерывной начальной функцией ip (t), которая имеет конечное число точек разрыва первого рода. Тогда функция y (t) может быть сколь угодно точно аппроксимирована на любом отрезке [г, Т] решениями задачи Коши вида (25) при п 1..

Замечание. В четвертом параграфе так же описан алгоритм построения начального вектора для задачи (25) по начальным данным a, (p (t) задачи (23)..

В третьей главе рассмотрена задача Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений dx 1 п — 1 Х t.

77 =—Г" —+ * >0, at т 1 + рх{.

Щ п~ 1 (% • 9 «Л dt~ т + 1 + р, хуу А» (28) dxn 72 1 Хп— ~dt «г 1 + Рп-гх^ «п' ®|t=o = я0..

Эту систему можно рассматривать, как возмущение исходной системы (3) нелинейными членами. Как и ранее, предполагаем, что в > 0, г > 0, кроме того.

0 7 > 0, j = 1,., 72 — 1..

Функция g (t, 2) Е С (М^~) неотрицательна, ограничена и удовлетворяет условию Липшица по Будем считать, что начальные данные для задачи (28) неотрицательны Xj > 0, j = 1,., п..

В первом параграфе доказывается однозначная разрешимость задачи Коши (28) с нулевыми данными. Вопрос о существовании решения возникает в случае, если хотя бы один из показателей 7^ не является целым..

Второй параграф посвящен доказательству предельной теоремы для последовательности задач (28) с нулевыми начальными данными..

Теорема 3.2.1. Пусть при любом п начальные условия в (28) нулевые. Тогда последовательность равномерно сходится на любом отрезке [0,Т], Т > г: x"(t) y (t), 72 -)• 00..

Предельная функция y (t) является решением начальной задачи (7) для уравнения с запаздывающим аргументом..

Следствие. Имеет место оценка скорости сходимости max xn (t) — y (t) I < cin½ 4- c2n~7, n > щ (в, r, 7, p). ig[0,t].

Теорема 3.2.1 является аналогом теоремы 1 для системы с нелинейными возмущениями. Таким образом, для приближенного нахождения значения последней компоненты xn (t) решения задачи (28) при п 1 нужно решить начальную задачу (7) для уравнения с запаздывающим аргументом. Наличие оценки близости решений дает возможность оценить погрешность аппроксимации xn (t) «y (t) при п 1. Очевидно, чем больше число уравнений п в системе, тем точнее можно получить результат..

Замечание. Отметим, интересный факт, касающийся скорости сходимости Xn (t) —> y (t) при п —у оо, вытекающий из теоремы 3.2.1. А именно, для того, чтобы для заданного е > 0 обеспечить выполнение оценки xnn (t)-y (t)iV0(e, 7), при малых 7 «0 нужно выбирать значительно большие номера Nq (s, 7), чем те, которые вытекают из теоремы 1 в случае невозмущенной системы (3). Впервые этот факт был обнаружен в совместных исследованиях Г. В. Демиденко и Т. В. Котовой в 2004;2005 гг. для систем с линейными возмущениями (см. [47])..

В следующем параграфе доказаны предельные теоремы для некоторых наборов ненулевых начальных данных. Сформулируем полученные результаты..

Теорема 3.3.1. Пусть начальные данные в задаче (28) имеют вид хп$ = (0,., 0, а)т, а > 0..

Тогда последовательность равномерно сходится на любом отрезке [О, Т], Т > т: xnn (t) y (t), п ->• оо..

Предельная функция y (t) является решением начальной задачи (16)..

Из теорем 1.4.1 и 3.3.1 получаем очевидное следствие..

Следствие. Справедливо неравенство шах |xl (t) — y{t) I < cin" ½ + c2n~7, n > n0(6, r, 7, p), tc[U, i J где константы c, c2 > 0 не зависят от п..

Замечание. Как в случае нулевых данных здесь также значительно замедляется скорость сходимости при малых 7 «0..

Теорема 3.3.3. Пусть i — фиксировано, начальные данные в (28) имеют вид хп>° = (0,. ., 0, аь., аг-)т, % > 0, .7 = 1,., г..

Тогда последовательность {x™(t)} сходится в пространстве Lp (0,T) для любого Т > г: xnn (t) — y (t), Lp (0,T)|| 0, ть У оо..

Предельная функция y (t) является решением начальной задачи = -9y (t)+g{t-T, y (t-T)), t>r, < V (t) = (ai 4- • • • + ai) e~et, i€[0,r],^y (r + 0) = (ai + • • • + аг) е~вт. Следствие. В условиях теоремы 3.3.3 справедлива оценка K (t)-y (t), Lp (0,T)|| < + с2п-^, п>щ (в, т, Ър), где функция q (p) имеет вид (19)..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14,15,2426,28−33]..

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Г. В. Демиденко за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе..

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. Москва — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002..

2. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004..

3. Валеев К. Г., Жаутыков О. А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. Алма-Ата: Наука, 1974..

4. Ващенко Г. В., Новиков Б. А. Параллельная реализация явного метода Эйлера с контролем точности вычислений // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2011. Т. 4, № 1. С. 70−76..

5. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997..

6. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970..

7. Демиденко Г. В. Об одном классе систем дифференциальных уравнений и уравнениях с запаздывающим аргументом // Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского: Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2007. С. 72−73..

8. Демиденко Г. В. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений больших размеров и уравнения с запаздывающим аргументом //В кн.: Нелинейный анализ и экстремальные задачи. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2008. С. 1−34..

9. Демиденко Г. В. О классах систем дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнениях с запаздывающим аргументом // Итоги науки. Юг России. Сер.: Математический форум. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. Т. 5. С. 45−56..

10. Демиденко Г. В., Колчанов Н. А., Лихошвай В. А., Матушкин Ю. Г., Фадеев С. И. Математическое моделирование регуляторных контуров генных сетей // Журн. выч. матем. матем. физ. 2004. Т. 44, № 12. С. 2276−2295..

11. Демиденко Г. В., Лихошвай В. А. О дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, Я2 3. С. 538−552..

12. Демиденко Г. В., Лихошвай В. А., Котова Т. В., Хропова Ю. Е. Об одном классе систем дифференциальных уравнений и об уравнениях с запаздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 1. С. 58−68..

13. Демиденко Г. В., Лихошвай В. А., Мудров А. В. О связи между решениями дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и бесконечномерных систем дифференциальных уравнений // Дифф. уравн. 2009. Т. 45, № 1. С. 34−46..

14. Демиденко Г. В., Мельник (Уварова) И. А. Об одном способе аппроксимации решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 3. С. 528−546..

15. Иванов В. В. Разрешимость задачи Коши с начальными условиями на границе // Сиб. электрон, матем. изв. 2010. Т. 7. С. 487−490..

16. Котова Т. В. О свойствах решения одной системы, моделирующей процесс многостадийного синтеза // Материалы ХЫИ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2005. С. 97−98..

17. Красносельский М. А., Крейн С. Г. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Труды семинара по функциональному анализу Воронежского гос. ун-та, вып. 2, 1956, с. 3−23..

18. Красовский Н. Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. мат. и мех. 1964. Т. 28, вып. 4. С. 716−724..

19. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967..

20. Лихошвай В. А., Фадеев С. И., Демиденко Г. В., Матушкин Ю. Г. Моделирование уравнением с запаздывающим аргументом многостадийного синтеза без ветвления // Сиб. журн. индустр. мат. 2004. Т. 7, № 1. С. 73−94..

21. Лихошвай В. А., Фадеев С. И., Штокало Д. Н. Об исследовании нелинейных моделей многостадийного синтеза вещества / / Новосибирск, 2010. 37 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики- № 246)..

22. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983..

23. Матвеева И. И., Мельник (Уварова) И. А. О свойствах решений одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений большой размерности // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 2, С. 312−324..

24. Матвеева И. И., Мельник (Уварова) И. А. О свойствах решений одной нелинейной системы дифференциальных уравнений большой размерности // Новосибирск, 2011. 17 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики- № 261)..

25. Матвеева И. И., Попов А. М. О свойствах решений одной системы, возникающей при моделировании многостадийного синтеза вещества // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, вып. 3. С. 86−94..

26. Мельник (Уварова) И. А. Об одной нелинейной системе дифференциальных уравнений, моделирующей многостадийный синтез вещества // Вестник ТГУ. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16, № 5. С. 1254−1259..

27. Мудров А. В. О связи систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с запаздывающим аргументом // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7, вып. 2. С. 57−69..

28. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972..

29. Персидский К. П. Счетные системы дифференциальных уравнений и устойчивость их решений // Известия АН КазССР. Серия: Математика и механика. 1959. Вып. 7. С. 52−71..

30. Репин Ю. М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными динамическими системами // Прикл. мат. и мех. 1965. Т. 29, вып. 2. С. 226−235..

31. Салуквадзе М. Б. К задаче синтеза оптимального регулятора в линейных системах с запаздыванием, подверженных постоянно действующим возмущениям // Автоматика и телемеханика. 1962. Т. 23, № 12. С. 1595−1601..

32. Тихонов А. Н. Uber unendliche Systeme von Differentialgleichungen // Мат. сб. 1934. Т. 41, вып. 4. С. 551−560..

33. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970..

34. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984..

35. Хидиров Б. Н. Об одном подходе к моделированию регуляторных механизмов живых систем // Матем. моделирование. 2004. Т. 16, № 7. С. 77−91..

36. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965..

37. Эльсгольц JL Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом., М.: Наука, 1971..

38. Demidenko G. V., Kotova T. V. Limit properties of solutions to one class of systems of differential equations with parameters //J. Anal. Appl. 2010. Vol. 8, no. 2. P. 63−74..

39. Gyori I. Two approximation techniques for functional differential equations // Comput. Math. Appl. 1988. Vol. 16, №. 3. P. 195−214..

40. Kolmanovskii V. B., Myshkis A. D. Introduction to the theory and applications of functional-differential equations. Mathematics and its Applications, 463. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999..

41. Matveeva I. I. On properties of solutions to a system of differential equations with a parameter //J. Anal. Appl. 2009. V. 7, No. 2. P. 7584..