Один метод получения устойчивых оценок в частном случае мультиколлинеарности

Если взаимосвязь между факторами близка к линейной, но не является таковой, то так или иначе удается построить многофакторную модель. Коэффициенты корреляции между факторами лежат в пределах до 0,95. Однако иногда на практике встречаются ситуации, когда между ними существует практически линейная функциональная зависимость, и коэффициенты парной корреляции почти равны единице.

(лежат в пределах от 0,95 до 1). В этих случаях оценки многофакторных моделей найти невозможно.

Пример Пусть мы наблюдаем некоторый социально-экономический процесс, который описывается функциональной двухфакторной линейной моделью со свободным членом, равным нулю:

Факторы x_{t t} и х_{2у (} в рассматриваемый период меняются линейно и это изменение описывается линейной функциональной зависимостью одного фактора от другого:

Очевидно, что в таком случае коэффициент парной корреляции между ними будет равен единице, что свидетельствует о крайнем случае мультиколлинеарности — о линейной функциональной зависимости между ними. В табл. 4.7 в соответствии с приведенной формулой (4.54) при линейно изменяющихся переменных рассчитаны величины результирующего показателя у_{. Следует еще раз подчеркнуть, что все данные табл. 4.7 — результаты вычисления строгой функциональной зависимости (4.54) между всеми переменными.

Таблица 4.7

Данные условного примера.

Теперь поставим обратную задачу — по данным этой таблицы, не зная коэффициенты зависимости (4.54), построить многофакторную линейную модель, г. е. рассчитать по данным таблицы значения коэффициентов модели со свободным членом, равным нулю: y_t ^=axu+^a2^x%t.

Поскольку между всеми переменными задачи имеется строго функциональная зависимость, на первый взгляд может показаться, что задача будет легко решена, поскольку в ней нет ни одной случайной ошибки и неопределенности — задача полностью детерминирована. И, конечно же, хотелось бы ожидать особой точности от применения МНК, такой, чтобы он позволил найти коэффициенты модели так, чтобы сумма квадратов отклонений расчетных значений от фактических была бы равна нулю.

Используем этот метод для нахождения оценок исходной модели (4.54) по табличным данным, зная, что свободный член равен нулю. Система нормальных уравнений для такой модели будет иметь вид.

Уравнения, с помощью которых можно вычислить коэффициенты, рассчитанные по данным табл. 4.7, примут вид такой системы:

Следующий шаг — решить систему и получить искомые значения коэффициентов. Но прежде, чем сделать это, приведем эту систему уравнений к системе уравнений в отрезках. Получим.

Как видно, система уравнений вырождена и не имеет решений. Плоскости уравнений МП К полностью совпадают друг с другом, т. е. не могут иметь точку пересечения. Значит, многофакторный МНК в данном случае не позволяет построить многофакторную модель.

В рассмотренной задаче между всеми переменными есть строгая линейная зависимость, которая в трехмерном пространстве исходных переменных представляет собой точки, лежащие на одной прямой линии. Поскольку эти точки лежат на одной прямой, то существует бесконечное количество плоскостей, которым будет принадлежать эта прямая линия. Система (4.56) эго и демонстрирует — она дает возможность бесконечного сочетания пар значений коэффициентов модели плоскости в трехмерном пространстве, т. е. позволяет получить бесконечное множество уравнений плоскостей, пересекающихся друг с другом и содержащих в себе прямую линию. Одной из таких плоскостей и является плоскость, описываемая уравнением (4.54). Но выделить эту плоскость из бесконечного числа других, как видно, с помощью МНК не представляется возможным.

Одним из эффективных методов решения поставленной задачи является переход из области действительных переменных в область комплексных переменных^[1]. Для этого рассмотрим линейные модели комплексного аргумента.

В общем виде линейная модель комплексного аргумента может быть записана так:

Здесь i — мнимая единица, о которой известно, что ее квадрат равен минус единице После центрирования исходных переменных относительно их средних арифметических эта модель будет выглядеть проще, поскольку сокращается свободный член:

Выделяя действительную и мнимую части этого равенства, получим систему двух уравнений:

откуда.

Первое уравнение полученной системы (4.59) говорит о том, что результат линейно зависит от факторных переменных, а второе — свидетельствует о том, что для линейной функции комплексного аргумента свойственна линейная функциональная зависимость между факторными переменными. Иначе говоря, линейная функция комплексного аргумента имеет право на существование исключительно в условиях линейной взаимосвязи между факторами модели, т.е. в условиях проявления крайнего случая мультиколлинеарности — линейной функциональной зависимости между факторами^. Ученые всеми силами борются за то, чтобы устранить последствия действия мультиколлинеарности, а функция комплексного аргумента в иных случаях использоваться и не должна.

Применим МНК к оценке коэффициентов комплекснозначной модели (4.58)^{.

Комплексиозначная функция, минимум которой соответствует оценкам МНК коэффициентов линейной модели комплексного аргумента, запишется так: ^[1]

Воспользовавшись формулами Римана-Коши, можно найти частные производные действительной части этой функции по каждому из коэффициентов и приравнять их нулю:

Отсюда система МНК будет записана в виде.

или в отрезках:

Как видно из последней системы уравнений, отрезки уравнений в общем случае не совпадают, поэтому можно ожидать, что пересечение этих линий на плоскости коэффициентов будет иметь место и в случае крайней мультиколлинеарности, т. е. задача имеет решение.

Пример Применительно к данным табл. 4.7, по которым не удалось с помощью МНК оценить значения двухфакторной линейной модели, используем линейную функцию комплексного аргумента и с помощью МНК найдем значения коэффициентов этой модели. Рассчитаем все необходимые суммы системы (4.60). Тогда для рассматриваемых данных она примет вид

Приведем ее к виду уравнений в отрезках (4.61):

Легко убедиться в том, что, решив эту систему нормальных уравнений, мы получим единственное и очень устойчивое решение. Сделаем это. Модель комплексного аргумента, коэффициенты которой найдены с помощью МНК по данным табл. 4.7, имеет вид yt={i:i-'li)[x_u+ix_2ty

Если теперь раскрыть скобки и сгруппировать действительную и мнимую части полученного равенства, то оно преобразуется в следующее: y_t = (7, Зх_{{ t} + 2х_{2 с}) + г г + 7, Зх_{2 t}).

Действительная часть полученного равенства полностью соответствует исходной функции (4.54), а мнимая часть легко прсоб;

разуется в такое равенство: 0 = i (-2x, _t + 7,3х₂, е)-«х_2л =—х_и = = 0,273 972 603х) _г. ' ' ^7,3

Таким образом, мнимой частью линейной модели комплексного аргумента абсолютно точно идентифицируется исходная зависимость между факторами (4.55).

Прежде, чем сделать некоторый вывод об использовании па практике этого частного случая построения двухфакторной линейной модели в условиях сильнейшей мультиколлинеарности, следует указать на принципиальное отличие линейной двухфакторной модели действительных переменных

от линейной модели комплексного аргумента.

Несмотря на то, что в модели (4.62), как и в модели (4.63) две переменные и два коэффициента, они описывают разные фигуры.

Модель действительных переменных (4.62) представляет собой уравнение плоскости в пространстве исходных переменных. Модель же комплексного аргумента (4.63) — уравнение прямой линии в этом пространстве.

Это значит, что в ситуации, когда между переменными х_{х t} и x_2tt нет линейной зависимости, модель комплексного аргумента будет давать плохие результаты.

Наблюдаемые точки в этой ситуации расположены на некоторой плоскости в пространстве с некоторым отклонением от прямой линии, причем, чем меньше коэффициент парной корреляции между ними, тем больше отклоняются точки на плоскости, описываемой моделью (4.62) от прямой линии. Но чем ближе точки в трехмерном пространстве приближаются к одной прямой линии, чем ближе к единице значение модуля коэффициента парной корреляции между объясняющими факторами, тем сильнее влияние мультиколлинеарности и тем больше оснований для использования линейной модели комплексного аргумента.

Следует сделать еще одно замечание относительно области применения линейной модели комплексного аргумента — она может использоваться в случае двухфакторной модели. Методы использования этого инструмента в моделях с большим числом факторов на данный момент еще не разработаны.

• [1] Svetunkov S. Complex-Valued Modeling in Economics and Finance. NewYork: Springer Science + Business Media, 2012.
• [2] Svetunkov S. Complex-Valued Modeling in Economics and Finance. NewYork: Springer Science + Business Media, 2012.