Понятие группы симметрии

Сочетания преобразований симметрии генерируют новые преобразования симметрии S + S₂ —* S3. В учении о симметрии представляют интерес определенные сочетания преобразований симметрии, приводящие не к разветвленным цепям, а к замкнутым циклам преобразований или группам симметрии. В случае разветвляющихся цепей мы получаем предельные группы с вырожденной симметрией. Такой группой является ось вращения С*. С осью вращения совмещается весь бесконечный набор осей симметрии С", от п = 1 до.

n = oo, поскольку тело вращения допускает поворот около оси вращения на любой угол. Через ось вращения проходит также бесконечное число плоскостей зеркального отражения.

Еще более высокую степень вырождения симметрии имеет шар. Шар допускает все преобразования симметрии, за исключением преобразований, содержащих трансляции.

Симметрия конечных тел, а также симметрия пространства в той или иной его точке, описывается точечной группой симметрии. Преобразования симметрии точечной группы оставляют на месте по крайней мере одну точку тела (пространства), поэтому они не содержат трансляций. К элементам симметрии точечных групп относятся: зеркальные плоскости симметрии, поворотные оси симметрии, центр симметрии, а также их суммы и произведения. Точечная группа симметрии в какой-либо точке тела или пространства определяется группой элементов симметрии, проходящих через рассматриваемую точку или, что приведет к тому же результату, симметрией окружения данной точки.

Группы симметрии, содержащие трансляции и их сочетания с другими преобразованиями симметрии, описывают симметрию бесконечных периодических пространств и называются пространственными (федоровскими) группами. В пространственной группе G выделим подгруппу трансляций G, и подгруппу вращений G_r:

Подгруппа вращений включает собственно повороты С" — п, отражения Р — т и их сочетания с трансляциями (винтовые оси С_т^п и плоскости скользящего отражения а, Ь, с, п).

Трансляции размножают элементы симметрии в бесконечные периодические семейства эквивалентных элементов (рис. 3.12) и подразделяют бесконечное трехмерное пространство на идентичные, параллельно расположенные и примыкающие друг к другу элементарные области (ячейки), имеющие форму параллелепипедов. Для описания пространственной группы достаточно указать элементы симметрии в одной элементарной ячейке.

Разные точки элементарной ячейки описываются разными точечными группами. Точки, не лежащие на элементах симметрии точечных групп и называемые точками общего положения, имеют наинизшую симметрию 1 = С. Точки, лежащие на элементах симметрии и занимающие частные положения, имеют симметрию не ниже симметрии соответствующего элемента. Точки, лежащие на пересечении нескольких элементов симметрии, имеют симметрию точечной группы, отвечающей сочетанию этих элементов.

Кристалл микроскопически представляет собой периодическое пространство, симметрия которого описывается пространственной группой. Макроскопически кристалл — сплошная анизотропная среда, симметрия которой описывается точечной группой. Точечная группа кристалла определяет симметрию его макроскопических физических свойств, а для ограниченных кристаллов — симметрию его формы. Симметрия физических свойств и формы может быть выше, но не ниже симметрии точечной группы. Точечная группа кристалла однозначно связана с его пространственной групппой и получается из последней приравниванием нулю длин всех трансляций. Все элементы симметрии пространственной группы, содержащие трансляции, превращаются при этом в соответствующие элементы симметрии точечной группы (винтовые оси симметрии и плоскости скользящего отражения переходят в поворотные оси и в плоскости зеркального отражения). При равенстве нулю длин трансляций все элементы симметрии получаемой точечной группы имеют по крайней мере одну общую точку.

В математической теории множеств совокупности различного рода элементов рассматриваются исключительно с точки зрения их отношений друг к другу. Если в множестве элементов {g_b g₂, …} выполняются четыре определенных правила (групповые аксиомы), то оно называется группой G. Групповые аксиомы формулируются так:

1. в группе G определено «групповое действие» — «умножение», так что произведение любой пары элементов gi еСи gj eG gj^AG есть элемент g_h также содержащийся в G:

2. для любых элементов группы умножение ассоциативно:

3. существует единичный элемент е eG такой, что для любого gi eG

4. для любого g, eG существует обратный элемент gf¹, так что.

Из совокупности аксиом следует, что единичный элемент — единственный и eg, = g, e, а также что обратный элемент единственный и gjg~^] = g,^_1g,.

Из рассмотренных выше свойств преобразований симметрии и примеров, следует, что их множество удовлетворяет групповым аксиомам, т. е. совокупность операций симметрии образует группу. Произведение элементов группы ggj всегда является элементом группы, однако результат, вообще говоря, зависит от порядка умножения элементов «справа» или «слева».

Применительно к операциям симметрии это означает, что если переменить порядок их выполнения, то результирующие операции могут оказаться различными.

Таким образом, теория симметрии является по существу теорией групп симметрии, она широко использует математический аппарат абстрактной теории групп, но придает им конкретное геометрическое или физическое содержание.