Дифракция рентгеновских лучей при прохождении через кристалл

Дифракция волн

Как хорошо известно [1], волну, распространяющуюся со скоростью и вдоль х, можно описать соотношением.

Зафиксировав значение х, найдем, что вид функции / показывает, по какому закону изменяется с течением времени величина s, характеризующая возмущение, например напряженность электрического или магнитного поля. Вид функции / может быть произвольным. В случае, когда / является синусоидальной функцией, имеем.

где а — амплитуда, Т — период, а аргумент синусоидальной функции (2л/7)(/ - х/и) называется фазой. Значение s, таким образом, зависит от выбора начала отсчета времени t и координаты х. Поэтому, для нескольких волн, имеющих одну и ту же амплитуду и период, значение s в данной точке х и в данный момент времени t может быть различно. Что бы учесть это обстоятельство, удобно записать выражение для синусоидальной волны в более удобном виде.

Ф называется начальной фазой.

Вид функции (4.2) показывает, что она периодична по времени с периодом Т. Кроме того, она обладает периодичностью и по переменной х. Если дать х приращение X = иТ, то значение функции не изменится, а, следовательно, расстояние по л, равное X = иТ, отделяет точки, в которых колебания совершаются в данный момент времени в одной и той же фазе. Величина X = иТ называется длиной волны.

Выражение (4.2) можно переписать.

Введем обозначения: 2п/Т = ш — круговая частота, 2п/Х = к — волновое число. Тогда (4.4) примет вид.

Для облегчения математического аппарата, вместо тригонометрических функций можно ввести экспоненциальные. В основе этой замены лежит формула Эйлера ехр (г'ср) = coscp + /sirup.

Если (р = со/, то яехр (ко/) описывает гармоническое колебание с амплитудой а и круговой частотой со. Если начальная фаза колебания равна 8, то выражение для колебания будет с? ехр[/(со/ + 5)] = аехр (/8)ехр (/со/). Обозначая аехр (/8) = С, мы вводим комплексную амплитуду С, причем в это выражение входит как обычная амплитуда а, так и начальная фаза колебаний 8.

Пользуясь экспоненциальной функцией, мы можем записать выражение (4.5) в виде.

Волну, выраженную одной из формул (4.2) — (4.6), будем называть монохроматической волной.

Скорость распространения монохроматической волны это скорость, с которой передается от точки к точке фаза монохроматического колебания. Действительно, скорость распространения фазы определяется из того соотношения между х и /, при котором фаза остается неизменной, т. е. из требования (2л/7)(/ - х/и) = const. Дифференцируя это соотношение, получим, что скорость распространения фазы dx/dt = и. Поэтому и носит название фазовой скорости монохроматической волны. Из соотношения (4.5) можно найти другое выражение для фазовой скорости dx/dt = со /к.

Опыт показывает, что только для вакуума фазовая скорость распространения волн является одной и той же для волн любой длины. Во всех остальных средах фазовая скорость распространения монохроматической волны зависит от ее длины, т. е. и = ДА,). Такие среды называются диспергирующими.

При сложении двух гармонических колебаний одного периода.

происходящих по одному направлению, получится вновь гармоническое колебание того же периода.

амплитуда А и фаза ср которого определяются из следующих соотношений.

Выражение (4.9) показывает, что квадрат амплитуды результирующего колебания не равняется сумме квадратов амплитуд складывающихся колебаний. Результат сложения зависит от разности фаз (ф, — ф₂) исходных колебаний.

Введем обозначение ф = ф, — ф₂ и вычислим средний квадрат амплитуды результирующего колебания за промежуток времени т, длительный по сравнению со временем нерегулярных изменений фазы ф:

Если разность фаз ф остается неизменной в течение времени наблюдения т, то.

следовательно, (А²) = а² + а₂² + 2а10₂созф, т. е. I Ф 1 +.

h-

При беспорядочном изменении разности фаз, значение — ЦсовфЛ стремится к нулю, и мы имеем (А²) = а ² + а², т. е. / = /| + /₂.

Итак, при сложении колебаний одного периода нужно различать два случая.

• 1. Разность фаз колебаний сохраняется неизменной за время т, достаточное для наблюдений. Средняя энергия результирующего колебания отличается от суммы средних энергий исходных колебаний. В этом случае колебания называются когерентными, а сложение колебаний, при котором не имеет место суммирование интенсивностей, называется интерференцией колебаний.
• 2. Разность фаз колебаний беспорядочно меняется за время наблюдения. Средняя энергия результирующего колебания равна сумме средних энергий исходных колебаний. Такие колебания называются некогерентными. При их сложении всегда наблюдается суммирование интенсивностей, и интерференция не имеет места.

В соответствии со сказанным выше, будем говорить об интерференции волн в том случае, когда при их совместном действии не происходит суммирование интенсивностей.

Введем теперь определение дифракции электромагнитных волн. Понятие «дифракция» в оптике связывается с нарушением прямолинейного распространения света [1−3]. В конце 19 века А. Зоммерфельд определил дифракцию как «любое отклонение распространения света от прямолинейного, не связанное с отражением или преломлением». В оптике этому соответствует проникновение света в область геометрической тени.

В дальнейшем определение Зоммерфельда было расширено [3]: «Под дифракцией света понимают всякое Уклонение от прямолинейного распространения света, если оно не может быть истолковано как результат отражения, преломления или изгибания световых лучей в средах с непрерывно меняющимся показателем преломления».

И, окончательно, в теории волн под дифракцией понимают любые отклонения при распространении волн от законов геометрической оптики [4].

Для того, чтобы данное выше определение было применимо, необходимо также сформулировать и законы геометрической оптики [4], верные в случае пренебрежения волновыми эффектами:

• 1. Закон прямолинейного распространения света: в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Линия, вдоль которой переносится энергия, называется световым лучом.
• 2. Закон преломления: падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости с нормалью к преломляющей поверхности в точке падения, а направления этих лучей связаны соотношением «sina = w’sina', где п и п' — показатели преломления соответственно первой и второй сред, a — угол падения (угол между лучом, падающим на поверхность, и нормалью к поверхности в точке падения), а' - угол преломления (угол между преломленным лучом и нормалью к поверхности в точке падения). Закон преломления открыт В. Снеллиусом и Р. Декартом.
• 3. Закон отражения: падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с нормалью к отражающей поверхности в точке падения, и эта нормаль делит угол между лучами на две равные части. Впервые упоминается в «Катоптрике» Евклида.
• 4. Закон независимого распространения лучей: отдельные лучи не влияют друг на друга и распространяются независимо, т. е., если в какой либо точке сходятся два луча, то освещенности, создаваемые ими, складываются.