Расчет производительности одношнековых экструдеров по зоне дозирования (для ньютоновской жидкости)

Зона дозирования одношнековых экструдеров является наиболее изученной. Расчет производительности и мощности привода одношнековых экструдеров производится в настоящее время на основе анализа процессов, протекающих в зоне дозирования.

Это объясняется тем, что в этой зоне применимы основные законы гидродинамики сплошных сред (уравнения неразрывности и движения). Зона же сжатия (пластикации), где осуществляется процесс перехода полимера из твердого состояния в жидкое, остается наименее изученной, хотя она оказывает значительное влияние на процесс экструзии и потребляет значительную часть мощности привода. Вероятно, этому можно найти объяснение в том, что перерабатываемый материал в этой зоне находится в переходном состоянии (смесь расплава с твердыми частицами полимера) и в этом случае трудно говорить о применимости указанных выше уравнений. Задача усугубляется еще и тем, что в этой зоне имеет место нестационарный тепловой процесс, а винтовой канал имеет переменные размеры сечений, вследствие чего доля расплава в смеси переменна по длине зоны сжатия. По этим причинам наибольшее число известных до сих пор исследований посвящено зоне дозирования.

Дозирующая зона играет очень большую роль в одношнековом экструдере, так как обычно именно она определяет производительность машины.

При гидродинамическом анализе зоны дозирования одношнековых экструдеров (аналогия с винтовым насосом) используются следующие общепринятые предположения:

• а) винтовой канал, образованный нарезкой шнека и стенкой цилиндра, рассматривают развернутым в плоскость (плоская задача) (рис. 2.22);
• б) считают, что шнек неподвижен, а цилиндр движется в направлении, перпендикулярном оси шнека (для определения положения частицы жидкости по отношению к шнеку);
• в) массовыми силами пренебрегают;
• г) жидкость заполняет винтовой канал полностью и прилипает к стенкам (к поверхностям шнека и цилиндра);
• д) жидкость ньютоновская, несжимаемая и температура ее одинакова по всему объему (изотермичность процесса);

Рис. 2.22. Плоская модель зоны дозирования одношнекового экструдера е) рассматривается прямоугольный профиль винтового канала с постоянными размерами по длине, т. е. поперечное сечение канала не является функцией координаты z;

• ж) ширина винтового канала Wнамного больше его глубины И, т. е. IV" h;
• з) учитывают только поперечную v_x и продольную v_z компоненты скорости, предполагая, что вертикальная составляющая скорости _у жидкости не оказывает существенного влияния на процесс экструзии, т. е.

При принятых выше допущениях уравнения движения принимают вид:

где ц — ньютоновская вязкость; dp/dz и др/дх — градиенты давления в направлениях осей z их; _v v, — скорости частиц жидкости в направлениях осей z их.

Двойным интегрированием уравнения (2.32) получим следующее выражение:

Постоянные интегрирования Q и С2 находятся из следующих граничных условий, вытекающих из предположения прилипаемости жидкости к стенкам винтового канала:

где V_cz — компонента вектора скорости стенки цилиндра в направлении оси z.

При подстановке граничных условий в уравнение (2.34) получим:

Тогда из уравнения (2.34) следует:

Первый член правой части уравнения (2.36) описывает скорость частиц вынужденного (прямого) потока жидкости v^, обусловленного относительным движением поверхностей цилиндра и шнека, а второй член — скорость потока под давлением (противотока) v_v, обусловленного наличием сопротивления головки (формующего инструмента) (рис. 2.23, а).

Решение уравнения (2.33) при граничных условиях.

(где V_a — компонента вектора скорости стенки V_c в направлении оси х) записывается в виде:

Рис. 2.23. Эпюры скоростей потока в зоне дозирования одношнекового экструдера:

а — вдоль винтового канала; б— поперек винтового канала

В последнем уравнении первый член правой части описывает скорость вынужденного потока жидкости, обусловленного наличием У_а стенки, а второй член — скорость потока под давлением из-за наличия градиента давления Эр/Эх (рис. 2.23, б).

Появление компоненты скорости v_x объясняется наличием поперечной циркуляции жидкости в винтовом канале шнека, обусловленной толкающим действием боковых стенок винтового канала. Следовательно, если пренебречь утечками через радиальный зазор, величина которых обычно очень мала, суммарное значение расхода для течения в поперечном направлении будет равно нулю, так как с обеих сторон поток ограничен стенками канала, т. е.

Градиент давления Эр/дх в направлении х находят подстановкой v_x [уравнение (2.38)] в уравнение (2.39) и интегрированием получающегося при этом выражения. В результате можно легко убедиться, что.

Подстановкой этого значения Эр/Эх в уравнение (2.38) окончательно получим:

Объемный расход жидкости Q можно получить интегрированием компоненты _г вектора скорости жидкости по поперечному сечению канала, перпендикулярному оси z? Математически это выразится уравнением.

В результате совместного решения уравнений (2.36) и (2.42) получим окончательно:

Первый член правой части уравнения (2.43) является расходом прямого (вынужденного) потока, обусловленного относительным движением поверхностей шнека и цилиндра, а второй член — расходом потока под давлением, появляющегося из-за наличия сопротивления экструзионной головки. Преобразуем некоторые переменные последнего уравнения при помощи следующих соотношений (см. рис. 2.22):

тогда с учетом соотношений (2.44) уравнение (2.43) приводится к следующему виду:

где a, p — коэффициенты прямого и обратного потоков соответственно; /, Л, И'— шаг, глубина и ширина винтового канала соответственно; D— наружный диаметр шнека; /—число заходов винтовой нарезки шнека; Z. — длина зоны дозирования шнека; а —угол подъема винтовой нарезки; /V—частота вращения шнека; Ар — падение давления на длине зоны дозирования шнека.

Первый член правой части уравнения (2.45) представляет собой производительность вынужденного потока Q_Di а второй член — производительность потока под давлением Q_p. Видно, что Q_D зависит только от геометрических параметров и частоты вращения шнека N, а поток под давлением — от свойств перерабатываемого материала и технологических режимов экструзии.

Кроме того, в зоне дозирования одношнековых машин существуют утечки через кольцевой зазор между гребнем шнека и внутренней поверхностью цилиндра. Однако ввиду малости ими пренебрегают.

Если уравнение (2.45) записать в виде.

то с учетом того, что легко получить соотношение.

Коэффициент <�р называют коэффициентом дросселирования. Величина ф оказывает большое влияние на распределение профиля скоростей v_z (см. рис. 2.23, а).

Аналогичным образом можно преобразовать и уравнение (2.36), обозначив при этом через а отношение у/h (т. е. a —y/h). Тогда получим:

Легко убедиться, что ф имеет максимальное значение при максимальном градиенте давления (максимальный градиент давления получают в том случае, если выходное отверстие формующего инструмента закрыто). Так как в этом случае продольное перемещение жидкости по винтовому каналу отсутствует, то можно предположить, что.

Если теперь подставить выражение (2.49) в (2.50), то получим соотношение, которое показывает, что максимальное значение ф равно единице (только при ф = 1 имеет место равенство нулю левой и правой частей приводимого соотношения):

Уравнение (2.41) можно записать в эквивалентной уравнению (2.49) форме:

Рис. 2.24. Профили относительных скоростей потока в зоне дозирования:

Vt/V_ci — вдоль винтового канала; Vx/Kx — поперек винтового канала; v/K_f — вдоль оси шнека.

Рис. 2.25. Продольная циркуляция жидкости в винтовом канале

Следует заметить, что если компонента скорости v_z зависит от параметра переработки <�р и a =y/h [рис. 2.24 и уравнение (2.49)], то скорость v_z зависит только от безразмерной переменной а =у/И и не зависит от параметра <�р (коэффициента дросселирования).

Кроме того, координата у |_v^₌₍₎ =-h не изменяется. Профили компонент скоростей потока для различных значений ср представлены на рис. 2.24.

Из рисунка видно, что при всех режимах работы (значениях ф) координата точки, где v_x = 0, остается неизменной и равна а = 2/3, а координата точки, где v* = 0, меняется в зависимости от значения параметра ф. Следует заметить, что из-за наличия градиента давления Эр/dz в винтовом канале одношнекового экструдера наряду с поперечной циркуляцией имеет место и продольная циркуляция жидкости (рис. 2.25).