Интегральные и дифференциальные соотношения между основными величинами, характеризующими поле

Электромагнитные поля могут быть описаны интегральными или дифференциальными соотношениями. Интегральные соотношения относятся к объему (длине, площади) участка поля конечных размеров, а дифференциальные — к участку поля физически бесконечно малых размеров. Они выражаются операциями градиента, дивергенции, ротора (раскрытие операции grad, div и rot в различных системах координат см. во втором томе книги). В макроскопической теории поля описывают свойства поля, усредненные по бесконечно малому физическому объему и во времени. Этот объем, в отличие от математически бесконечно малого объема, может содержать большое число атомов вещества. Дифференциальные уравнения макроскопической теории поля не описывают поля внутри атомов, для чего, как известно, служат уравнения квантовой теории поля.

В электростатическом поле поток вектора напряженности электрического поля Ё через замкнутую поверхность (рис. 1.1) равен свободному заряду д_свб, находящемуся внутри этой поверхности, деленному на в₀е_г (теорема Гаусса):

где dS — элемент поверхности, направленный в сторону внешней нормали к объему; ?_г — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Рис. 1.1.

В дифференциальной форме теорему Гаусса записывают так:

(Рсвб — объемная плотность свободного заряда, Кл/м³).

Переход от (1.1) к (1.2) осуществляют делением обеих частей (1.1) на объем V, находящийся внутри поверхности S, и стремлением объема V к нулю.

Физически div? означает исток вектора в данной точке.

В электростатическом и стационарном электрическом полях на заряд q действует сила F = qE. Отсюда следует, что Ё может быть определена как силовая характеристика поля: Ё = НшЁ/q. Если q под дей;

Q—>0.

ствием сил поля переместится из точки 1 в точку 2 (рис. 1.2), то силы.

² _.

поля совершат работу A = qj Ёс11, где dl — элемент пути из 1 в 2.

Рис. 1.2.

Под разностью потенциалов U₁₂ между точками 1 и 2 понимают работу, совершаемую силами поля при переносе заряда q = 1 Кл из точки 1 в точку 2,

U₁₂ не зависит от того, по какому пути происходило перемещение из точки 1 в точку 2. Выражению (1.3) соответствует дифференциальное соотношение.

Градиент ф (grac^) в некоторой точке поля определяет скорость изменения ф в этой точке, взятую в направлении наибольшего его возрастания. Знак «минус» означает, что Ё и grac^ направлены противоположно.

Электрическое поле называют потенциальным, если для него j>Edl =0. Электрическое поле поляризованного диэлектрика описывается вектором электрического смещения (индукции).

где Р — поляризованность диэлектрика, равная электрическому моменту единицы объема поляризованного диэлектрика.

В стационарном неизменном во времени электрическом поле в проводящей среде в смежные моменты времени распределение зарядов одинаково, поэтому для этого поля справедливо определение разности потенциалов по формуле.

Внутри источника постоянной ЭДС результирующая напряженность электрического поля Ё_рез равна векторной сумме потенциальной (кулоновой) составляющей Ё_пот и сторонней составляющей ?_стор:

Дггор разделяет заряды внутри источника; она обусловлена химическими, электрохимическими, тепловыми и другими процессами неэлектростатического происхождения и направлена встречно Ё_ПОТ. Внутри источника ЭДС при e (t), являющейся функцией времени, напряженность электрического поля имеет две составляющие: ?_стор и ?_пот, но ?_стор, разделяющая заряды внутри источника, обусловлена электромагнитными процессами, а не перечисленными выше. В электромагнитном поле могут протекать электрические токи. Под электрическом током понимают направленное (упорядоченное) движение электрических зарядов. Ток в некоторой точке поля характеризуется плотностью 8 (А/м²). Известны три вида тока: ток проводимости (плотностью 8_пр), ток смещения (плотностью 8_СМ) и ток переноса (плотностью 8_пер). Ток проводимости протекает в проводящих телах под действием электрического поля, плотность его пропорциональна Ё:

где у — удельная проводимость проводящего тела, Ом^-1 • м^-1. В металлах ток проводимости представляет собой упорядоченное движение свободных электронов, в жидкостях — движение ионов.

Плотность тока смещения в диэлектрике равна производной по времени от вектора электрического смещения D = е₀Ё + Р:

Слагаемое s₀ — — составляющая тока смещения, обусловленная из- dt

менением во времени напряженности поля Ё в вакууме. Под вакуумом¹

в курсе ТОЭ будем понимать не просто сверхразреженную среду, не пустоту, где ничего нет, а мировую материальную среду с особыми свойствами. В течение многих столетий эту среду называли эфиром, а в последние десятилетия ее стали именовать физическим вакуумом, самим названием подчеркивая, что она обладает физическими свойствами. Слагаемое —.

dt

обусловлено изменением поляризованности во времени (изменением расположения связанных зарядов в диэлектрике при изменении Ё во времени). В качестве примера тока смещения может быть назван ток через конденсатор. Ток переноса вызывается движением электрических зарядов в свободном пространстве. Примером тока переноса может служить ток в электронной лампе. Если положительный заряд объемной плотности р₊ движется со скоростью v₊ и отрицательный заряд объемной плотности р_ со скоростью v_, то плотность тока переноса в этом поле 8_пер = p₊v₊ + p_v_ в явном виде не зависит от напряженности Ё в данной точке поля. Если в некоторой точке поля одновременно существовали бы все три вида тока, то полная плотность тока 8_пол = 8_пр + 8_СМ + 8_пер. Для большинства задач ток переноса отсутствует.

Ток — это скаляр алгебраического характера. Полный ток через поверхность S равен.

Если в электромагнитном поле выделить некоторый объем, то ток, вошедший в объем, будет равняться току, вышедшему из объема, т. е.

где dS — элемент поверхности объема, он направлен в сторону внешней по отношению к объему нормали к поверхности. Последнее уравнение выражает принцип непрерывности полного тока: линии полного тока представляют замкнутые линии, не имеющие ни начала, ни конца. Электрические токи неразрывно связаны с магнитным полем. Эта связь в неферромагнитной среде определяется интегральной формой закона полного тока.

циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н (А/м) по замкнутому контуру равна полному току 1_ПОЛ, охваченному этим контуром; dl — элемент длины контура (рис. 1.3). Таким образом, все виды токов хотя и имеют различную физическую природу, обладают свойством создавать магнитное поле. В неферромагнитной среде магнитная индукция.

Рис. 1.3.

Ферромагнитные вещества обладают спонтанной намагниченностью. Характеристикой ее является магнитный момент единицы объема вещества J (его называют намагниченностью). Для ферромагнитных веществ.

где ц_г, ц_а — относительная и абсолютная магнитная проницаемость соответственно.

Напряженность магнитного поля в ферромагнитной среде.

равна разности двух векторных величин: В / ц₀ и J.

Закон полного тока в интегральной форме для любой среды принято записывать в виде.

или в дифференциальной форме.

Запись (1.15) закона полного тока получили из (1.14), поделив обе части его на площадь AS, охваченную контуром интегрирования, устремив AS к нулю и учтя плотность тока смещения Физически ротор

(rot) характеризует поле в данной точке в отношении способности к образованию вихрей.

Плотность тока переноса в правой части последнего уравнения не учтена, так как он обычно отсутствует в задачах, решаемых с помощью этого уравнения. Магнитный поток через некоторую поверхность S (рис. 1.4) определяют как поток вектора В через эту поверхность:

Рис. 1.4.

Поток Ф — это скаляр алгебраического характера, измеряется в веберах (Вб = В • с). Если поверхность S замкнутая и охватывает объем V, то поток, вошедший в объем, равен потоку, вышедшему из него, т. е.

Это уравнение выражает принцип непрерывности магнитного потока. Линии магнитной индукции — это замкнутые линии.

В 1831 г. М. Фарадей сформулировал закон электромагнитной индукции: ЭДС е_инд, наведенная в некотором одновитковом контуре изменяющимся во времени магнитным потоком, пронизывающим этот контур, определяется выражением.

где ?_инд — индукционная составляющая напряженности электрического поля. Знак «минус» обусловлен правой системой отсчета: принято, что положительное направление отсчета для ЭДС и направление потока при его возрастании связаны правилом правого винта (рис. 1.5).

Рис. 1.5.

Если контур многовитковый (катушка с числом витков w), то.

Здесь — потокосцепление катушки, равное сумме потоков, пронизывающих отдельные витки катушки:

Если все витки w пронизываются одинаковыми потоками Ф, то.

где W — результирующее потокосцепление, оно может создаваться не только внешним по отношению к данному контуру потоком, но и собственным потоком, пронизывающим контур, при протекании по нему тока. В проводнике длиной dl, пересекающем магнитные силовые линии неизменного во времени магнитного поля индукции В (рис. 1.6), вследствие силы Лоренца наводится ЭДС.

где v — скорость перемещения проводника относительно магнитного поля. В (1.21) В скалярно умножается на векторное произведение dl и v. Если в результате расчета по (1.21) с? е_инд> 0, то de_HHA направлена по dl.

Рис. 1.6.

В 1833 г. русский академик Э. X. Ленц установил закон электромагнитной инерции. При всяком изменении магнитного потока, сцепляющегося с каким-либо проводящим контуром, в нем возникает индуктированная ЭДС, стремящаяся вызвать в контуре ток, который:

• 1) препятствует изменению потокосцепления контура;
• 2) вызывает механическую силу, препятствующую изменению линейных размеров контура или его повороту.

Закон электромагнитной индукции, примененный к контуру бесконечно малых размеров, записывают так:

(в последней формуле индукционную составляющую напряженности поля Ё_пол принято обозначать Ё). Обобщая, можно сказать, что электромагнитное поле описывают четырьмя основными уравнениями в интегральной форме:

Этим уравнениям отвечают четыре уравнения в дифференциальной форме:

Они сформулированы в 1873 г. Дж. Максвеллом в его «Трактате об электричестве и магнетизме». Их называют уравнениями Максвелла, или уравнениями макроскопической электродинамики.

Уравнение (1.24) означает, что вихревое магнитное поле создается токами проводимости и токами смещения. Уравнение (1.25) свидетельствует о том, что изменение магнитного поля во времени вызывает вихревое электрическое поле, уравнение (1.26) —что магнитная индукция в неферромагнитной среде не имеет истоков и уравнение (1.27) — что истоком линий Ё являются свободные заряды. Частные производные в уравнениях (1.24) и (1.25) учитывают, что уравнения записаны для неподвижных тел и сред в выбранной системе координат.

Джеймс Максвелл обобщил и дополнил работы предшествующих ученых А. Ампера, М. Фарадея, Д. Генри, Э. Ленца, Г. Гельмгольца, ввел понятие об электрическом смещении в диэлектрике, о токе смещения в диэлектрике и создал систему уравнений (1.24)—(1.27), с помощью которых могут быть исследованы процессы в изменяющихся во времени электромагнитных полях и электрических цепях.