Модель количественной дуополии Курно

Первая модель олигополии была предложена французским экономистом-математиком А. О. Курно в 1838 г. Его модель в упрощенном варианте была рассчитана на функционирование на рынке всего лишь двух фирм.

Предполагается, что также выполняется условие второго порядка SOC (second optimum

condition):

Э²я,(Р,.Р₂) ЭР,²

<0.

(Однако чуть позже мы рассмотрим его модель для случаяе присутствия на рынке любого числа фирм.).

Курно исходил из того, что обе фирмы производят однородный товар (минеральную воду), что им известна кривая рыночного спроса (линейного вида), что их операционные затраты равны 0 (это значит — предельные затраты тоже нулевые). Каждый дуополист исходит из предположения, что его соперник не изменит своего выпуска в ответ на его собственное изменение производства (случай нулевой предположительной вариации). Другими словами, определяя свой выпуск исходя из требований максимизации прибыли, каждая из сторон полагает выпуск соперника заданным. Как мы видим, именно выпуск Курно считал управляемым параметром. Такой подход вполне традиционен. При совершенной конкуренции цена не зависит от выпуска отдельной фирмы. Наоборот, выпуск является единственной управляемой переменной. Монополист может выбрать, чем управлять — ценой или выпуском (но не обоими параметрами одновременно!). Выпуск олигополиста зависит от выпуска его конкурентов. (Именно такой подход выбрал Курно.) Но и от выбора цены конкурентами зависит поведение олигополиста. (По этому пути, как мы увидим ниже, пошел другой французский математик — Ж. Бертран.).

Но вернемся к модели дуополии Курно. Рассмотрим сначала ее на графике (рис. 16.1).

Рис. 16.1. Выбор дуополистами оптимального выпуска в модели Курно.

Пусть первой начнет производить первая фирма. На первом шаге она окажется монополистом и в соответствии с условием MR = МС (при МС = = 0) выберет выпуск ц_х. Кстати, это будет половина рыночного спроса.

=|(2 (отрезок0,_л) j. В соответствии с кривой рыночного спроса будет установлена цена Р_А.

На втором шаге начинает производить вторая фирма, которая будет рассматривать выпуск первой как данность. Отрезок AD кривой спроса PD

вторая фирма посчитает кривой остаточного (неудовлетворенного) рыночного спроса со своей кривой предельной выручки (MR₂). Поскольку предельные затраты по-прежнему нулевые, вторая фирма выберет выпуск, равный отрезку q_xq₂. ½ от остаточного спроса q_xD и ¼ от всего объема рыночного спроса при нулевой цене — 0D. Соответственно, для ¾ рыночного спроса цена опустится до уровня Р_в.

Затем снова наступает очередь первой фирмы. Она учитывает, что ¼ рыночного спроса покрывается (отсекается) второй фирмой. И для нее остаточный спрос — это ¾ рыночного. Она покроет половину от него, т. е. 3/8 (вместо ½ на первом шаге).

На следующем шаге вторая фирма будет считать «отсеченными» 3/8 общего спроса (приходящиеся на долю первой фирмы) и определит свой выпуск как половину от 5/8 остаточного спроса, т. е. 5/16 (вместо 4/16 на своем первом шаге).

Если продолжить рассмотрение в том же духе, то нетрудно будет убедиться, что на каждом шаге доля первой фирмы будет неуклонно сокращаться, пока не достигнет 1/3 общего рыночного спроса. Наоборот, доля второй фирмы будет постоянно возрастать, пока также не достигнет 1 /3 рыночного спроса. В этот момент и наступит равновесие дуополии Курно.

Покрывая совместно 2/3 рыночного спроса при единой цене, каждый дуополист обеспечивает максимум своей прибыли. Но это не максимум общей отраслевой прибыли, который мог бы быть достигнут, если бы обе фирмы договорились и действовали как монополия. Соответственно, и цена была бы выше — на уровне монопольной (Р_А — в нашем примере). О том, что такое возможно и что для этого не требуется даже явного сговора, впервые сказал Э. Чемберлин (модель дуополии Чемберлина).

Дуополисты, по его мнению, не будут столь наивны, чтобы считать, что выпуск соперника останется неизменным в ответ на их собственные действия: «Если каждый продавец рационально и разумно стремится максимизировать свою прибыль, то он поймет, что когда действуют только два или несколько продавцов, его собственные действия оказывают существенное влияние на конкурентов. Поэтому бессмысленно предполагать, что они оставят без ответа потери, которые обусловлены его действиями»^[1]. Дуополисты быстро поймут, что лучше поделить монопольный выпуск пополам (т.е. «взять» по ¼ общего рыночного спроса). Тогда и рыночная цена, и их прибыль будет выше.

Возвращаясь к нашему графику, отметим, что первые шаги обеих фирм будут теми же. Но вот на втором своем шаге первая фирма, понимая, что соперник реагирует па ее действия, сократит свой выпуск с ½ рыночного спроса не до 3/8, а до ¼ ОD (отрезок 0q{). При этом цена возвратится на монопольный уровень Р_Л. Вторая фирма, в свою очередь, понимает, что если она попытается расширить выпуск за пределы «своей» четверти рынка, то это приведет к падению рыночной цены, ответным действиям со стороны первой фирмы, дальнейшему падению цены и ее прибыли. Таким образом, убедившись в своей взаимозависимости и заинтересованности в высокой цене, дуонолисты «свободно и добровольно» выберут вариант совместной монополии, не прибегая даже к тайному соглашению.

Действия дуополистов в модели Курно можно наглядно продемонстрировать с помощью еще одного графика, на котором изображены кривые реагирования RС {reaction curve) или, иначе, кривые наилучшего ответа BR {best response) (рис. 16.2).

Рис. 16.2. Изопрофиты и кривые реагирования первого (а) и второго (б) дуополистов в модели Курно.

Но чтобы построить эти кривые, необходимо использовать такое уже известное нам понятие, как изопрофиты. Напомним, что в самом общем плане под изопрофитами понимаются кривые, образованные множеством комбинаций двух (или более) независимых переменных функции прибыли, обеспечивающих одну и ту же величину прибыли.

В модели Курно этими переменными являются выпуски обеих фирм. Так, каждая изопрофита первой фирмы в пространстве выпусков обеих фирм (рис. 16.2, а) представляет собой множество комбинаций q_x и q₂, обеспечивающих этой фирме один и тот же объем прибыли. В принципе таких изопрофит может быть построено сколько угодно {карта изопрофит). Аналогичным образом строится карта изопрофит второго дуополиста (рис. 16.2, б).

Можно вывести уравнения изопрофит для каждой из фирм. Пусть обратная функция рыночного спроса имеет линейный вид: P{Q) = a-b • Q. А в случае дуополии Курно: P{q_x + q₂) = a-b • {q_{ + q₂). Суммарные затраты {ТС) можно представить как с • q_x и с • q₂ соответственно, где с — удельные средние издержки, равные у обеих фирм.

Функции прибыли обеих можно записать так:

или

Если какой-то уровень прибыли фирмы берется за постоянную величину: п_х и п₂, ^то уравнения вида.

и являются уравнениями изопрофит.

Обратим внимание, что изопрофиты вогнуты к оси того дуополиста, чьи изопрофиты изображены на графике. Форма изопрофит показывает, как будет реагировать фирма на действия соперников, пытаясь сохранить достигнутый уровень прибыли. Чем ближе расположена изопрофита к своей оси, тем больший объем прибыли она отображает. Максимально возможную прибыль первая фирма могла бы получить в точке А, когда выпуск второй фирмы был бы нулевым, а ее собственный — наибольшим (монопольным). Максимум прибыли второй фирмы мог бы быть достигнут в точке В (см. рис. 16.2). Это справедливо, если учесть, что чем ближе изопрофита подходит к своей оси, тем меньше выпуск конкурента. Для любого заданного (выбранного) выпуска одной фирмы можно найти единственный выпуск другой фирмы, который обеспечит последней максимум прибыли. Очевидно, что это должна быть точка касания какой-то из изопрофит. Например, на графике 16.2, а для заданного выпуска второй фирмы q₂ это точка L, определяющая оптимальный выпуск q_x первой фирмы. На графике 16.2, б — соответственно точка М, определяющая оптимальный выпуск второй фирмы (q₂), обеспечивающий ей максимум прибыли при заданном выпуске первой фирмы (q_{).

Геометрическое место всех таких точек описывает кривую реакции соответствующей фирмы на любой фиксированный выпуск соперника¹.

Можно получить выражение, отражающее реакцию каждой фирмы на заданный объем выпуска соперника. Для этого вспомним, что максимум прибыли достигается при равенстве MR = МС.

MR можно получить, взяв первую частную производную выражений.

А МС — как производные от cq_l и cq₂.

Тогда.

Решив эти уравнения относительно q_{iq₂, получим функции, связывающие максимизирующий прибыль уровень производства первой (второй) фирмы с объемом производства второй (первой) фирмы:

¹ Кривые реакции (реагирования) образуются множеством точек наивысшей прибыли, которую может получить один из дуополистов при заданной величине выпуска другого.

Эго и есть уравнения кривых реагирования дуополистов.

Точка пересечения кривых реагирования обоих дуополистов, совмещенных в одном двухмерном пространстве выпусков, соответствует равновесию Курно (рис. 16.3).

Рис. 163. Функции реагирования дуополистов и равновесие в модели Курно (CN).

Равновесные выпуски дуополистов Курно определяют взаимной подстановкой. После чего имеем.

Равновесные выпуски дуополистов являются координатами точки равновесия Курно — Нэша^[2].

^ 2 {а-с)

• ()ощии выпуск дуополистов: у ~Ч +=-;—•
• 3 b

Так как вторые производные функции прибыли меньше нуля:

то в точке равновесия Курно дуополисты действительно получают максимум прибыли.

Подставив выражения q wq₂B уравнение обратной функции спроса: (Р (Q) = a — bQ), получим значение равновесной цены на рынке дуополии Курно:

Кривые реагирования в модели Курно можно использовать для наглядной иллюстрации последовательных шагов дуонолистов (рис. 16.4).

Рис. 16.4. Стабильность равновесия в модели Курно.

Допустим, что, как и раньше, начинает первая фирма, которая на первом шаге является монополистом. Она выбирает выпуск на уровне половины (а-с }

рыночного спроса qj = — . Для данного выпуска у второй фирмы есть.

< 2о.

только один оптимальный ответ, соответствующий точке на кривой RC₂.

4 (I С

Это выпуск qk = —— .

Ab

Реагируя на выпуск второй фирмы как заданный, первая фирма сократит свое производство до q ( (соответствует точке В на кривой RC_X). Опять наступает время реагирования второй фирмы. Она увеличит свой выпуск до уровня q₂ (точка F на кривой RC₂)?

И гак далее, пока обе фирмы не придут к точке равновесия Курно —.

1 (а — с ^.

Нэша (CN) с выпуском на уровне — рыночного спроса —— .

3 V Зо ^.

В случае картельного соглашения или негласного разумного выбора.

{модель Чемберлина) дуополисты выберут выпуск по — от рыночного.

(а-с^{Л 4}

спроса ——, что соответствует точке М на графике.

V 46 )

Модель олигополии Курно для случая с любым количеством производителей на рынке Модель Курно может быть распространена на отрасль с любым числом одинаковых фирм.

Самой простой случай, когда на рынке действует только одна фирма (монополист). На первом же шаге она выберет оптимальный выпуск на уровне.

Подставив полученное выражение в обратную функцию спроса: Р = а- - bQ, мы придем к выражению оптимальной цены монополиста:

Сравнив монопольный выпуск с общим выпуском дуополистов:

отметим, что монопольный — меньше. Цена же, наоборот, при монополии будет выше:

Если действовать в обратном направлении, то нетрудно будет убедиться, что по мере роста числа фирм на рынке рыночная структура все больше будет отвечать требованиям совершенной конкуренции (при п—>°°). При этом отраслевой выпуск будет возрастать, а рыночная цена снижаться.

Пусть в отрасли имеется п фирм. Функция затрат г-й фирмы: ГС,(г/,) (при г = 1 … п). P{q_x + … + q_n) — обратная функция рыночного спроса (в общем случае — нелинейная).

Представим прибыль г-й фирмы отрасли:

Как определить равновесие на рынке, когда выпуск каждого зависит от действий других?

Представим, что такие равновесные выпуски всех фирм есть q_x, q₂,…, q_n.

Для любой 2-й фирмы должно выполняться следующее условие: Теперь выпишем систему неравенств для всех фирм отрасли:

Из этой системы неравенств вытекает, что если все другие фирмы сохранили равновесные выпуски, то оставшейся фирме нет смысла изменять выпуск, так как это будет явное ухудшение ее положения.

Условие первого порядка, которое должно выполняться для i-й фирмы.

{mRj — mcj)•:

В модели олигополии Курно TC,(q,) = с? q_v Это значит, что у всех фирм отрасли предельные затраты равны и постоянны: тс = с. Обозначим через МС суммарные отраслевые предельные затраты: МС = с? п.

Просуммируем следующие уравнения:

Далее разделим суммарное уравнение на 22, а в левой части добавим.

P (Q*).

и отнимем выражение — :

П

Выражение в квадратных скобках — предельная выручка (MR):

Итак, имеем условие равновесия Курно для отрасли с п фирмами.^[3]

Если обратная функция отраслевого спроса имеет линейный вид: Р (Q) = = а — b Q, то MR (Q) = а — 2Ь • Q. Подставим их в предыдущее уравнение (условие равновесия Курно для отрасли с п фирмами):

Решив полученнное уравнение относительно Q*, имеем.

1 Ьскольку q = q*₂ = … = q*_n = — Q, то q = q*₂ = — = q*_n = —^7*.

П 0 /7 + 1.

Чем больше фирм в отрасли, тем ближе к единице становится сомножитель ——. Соответственно, суммарный выпуск всех производителей 1 + п

на рынке приближается к отраслевому спросу, который практически полностью удовлетворяется только при совершенной конкуренции.

Вернувшись к последнему графику (см. рис. 16.4), можно видеть и точку равновесия рынка совершеной конкуренции (PC). Если бы дуополисты согласились на цену на уровне предельных (и средних) затрат, то они также смогли бы удовлетворить весь отраслевой спрос².

Получив выпуск олигополистического рынка для п фирм, можно вывести и уравнение цены этого рынка:

С ростом п первое слагаемое стремится к нулю, а второе и, следовательно, сумма (т.е. цена) стремятся к с — уровню средних и предельных издержек.

Теперь можно определить, чему будет равна прибыль каждой фирмы:

Общая прибыль в отрасли составит.

• 1 При совершенной конкуренции по определению долгосрочная прибыль как типичной фирмы, так и отрасли в целом равна нулю: я₍* = Р ? Q — с • Q = 0. При линейной обратной функ-
• (I — с

ции спроса Р = а — b • Q имеем: к_гк = (я — /> • Q) • Q = 0 => Q, = 0 и Q, = ——.

о

• 2 Следует обратить внимание на то, что у Курно была совершенно необычная логика рассмотрения рыночных структур — от чистой монополии и дуополии к совершенной конкуренции как предельному случаю. Обычно рыночные структуры рассматриваются в обратной пос л едовател ы юсти.
• 1

Нетрудно заметить, что с ростом числа симметричных фирм на рынке прибыль каждой будет быстро убывать. Общая прибыль тоже, хотя и медленнее.

• [1] Chamberlin Е. Н. The Theory of Monopolistic Competition. Cambridge: Harvard UniversityPress, 1933. P. 18.
• [2] Равновесие в модели Курно оказалось частным случаем «равновесия по Нэшу"(Дж. Нэш — нобелевский лауреат по экономике 1994 г.). Говорят, что рынок находитсяв состоянии Нэша, если каждая фирма придерживается стратегии, являющейся лучшимответом на стратегии, которых придерживаются другие производители отрасли (см.: Nash J. Equilibrim Points in w-Person Games // Proceedings of the National Academy of Siences USA.1950. Vol. 36. P. 48−49).
• [3] MR, = TR'(q,) = (Р? q,)' no q,= P' q, + P.