Представление действительного числа десятичной дробью

5.3.5. Теорема. Всякое действительное число однозначно представимо в виде десятичной дроби.

Доказательство. В соответствии с определением 4.4.4, нужно доказать, что для всякого действительного числа а существует и притом только одна десятичная дробь а₀, а₁а₂—- такая, что для любого я = 0,1,… выполняются неравенства.

Сначала докажем, что существует не более, чем одна десятичная дробь, являющаяся представлением действительного числа а. Для этого выясним как числа а₀, а_х, а₂, … выражаются через число а. При п = 0 из (1) получаем д₀ < а < а₀ +1, откуда вытекает, что а₀ = [а].

Далее, используя обозначение А_п__{ = а₀+^ + …+ при л>0,.

получаем.

Отсюда.

а_п < 10″ (я — Л_п__х) < а_п +1. Следовательно, а" = [10″ (я — А_п__х)]. Из единственности целой части числа заключаем, что десятичная дробь однозначно определяется числом а.

Теперь ясно как нужно доказывать существование искомой десятичной дроби. По данному действительному числу а определим а₀ =[д], и если числа а₀, я,а_п__х уже найдены, то обозначим А_п_₁ =

а₀ + у^ + …+^{й- и} положим =[10″ (я-Л_я_,)]. Докажем, что при так определенных а₀, я, а₂, … имеют место неравенства (1). По определению целой части числа, из формулы для а₀ получаем а₀<, а<�а₀ + , а из формулы для а_п при п > 0 будем иметь: а_п < 10″ (а — А_п__х) < а_п +1, откуда легко получить (1).

Докажем, что запись а₀, а_}а₂… является десятичной дробью. Для этого нужно доказать, что а₁, а₂,… являются цифрами и нет «хвоста» из девяток.

Из неравенств а₀ < а < а₀ +1 получаем 0 <; а — а₀ < 1, откуда 0<(а-а₀) < 10, значит 0<[Ю (л-«₀)]< Ю. Но а_х = [Ю (я-я₀)], следовательно, 0<�я, <10, то есть а_х — цифра. Аналогично при л >0 из неравенств а_п й 10» (а — А_п__х)<�а_п+ получаем последовательно.

0<[10″ ^+|(я-Л")]<10, 0<�я"₊, <10, то есть л"₊₁ — цифра.

Докажем отсутствие «хвоста» из девяток. Предположим противное, пусть, начиная с номера т +1, всюду стоят девятки: а₀, а₁а₂.а_т999… Воспользуемся доказанными неравенствами (1). Для любого / = 1Д_Г. имеем:

Отсюда последовательно получаем: 0 < А_т + -у^- - а < у^—".

О < 10'" ⁺' (А_т + у^- - а) < 1 для любого / = 1,2,…, что противоречит аксиоме Архимеда. Таким образом, а^а_{а₂… является десятичной дробью, представляющей действительное число а. ?

Докажем, что требование однозначной представимости каждого элемента упорядоченного поля некоторой десятичной дробью эквивалентно аксиоме Архимеда.

5.3.6. Теорема. В упорядоченном поле аксиома Архимеда выполняется тогда и только тогда, когда всякий его элемент однозначно представим в виде некоторой десятичной дроби.