Дифференциальные уравнения движения корпуса

Систему дифференциальных уравнений движения корпуса получим, проектируя уравнения (5.29), (5.31) на оси связанной системы координат и уравнения (5.30) на оси стартовой системы координат. Дифференциальные уравнения для направляющих косинусов ползшим, проектируя уравнения (5.32), (5.33) на оси связанной системы координат и внося в уравнения, подобно [72], корректирующие члены, обеспечивающие вычислительную устойчивость и выполнение условий ортонормированности базиса (х°, у°, z°), вычисляемого в проекциях на оси связанной системы координат. Итоговая система зфавнений имеет вид.

^гД^е Хь X2. Хз — постоянные, обычно равные 0,5 [35, 72]. При расчете импульсных процессов, типа задач разделения элементов боеприпасов, накопление вычислительной ошибки, приводящей к неортонормированности базиса (x°, y°, z⁰), оказывалось несущественным, что позволяло не учитывать корректирующие члены в уравнениях, полагая %i = Хг = = Хз = 0.

Дифференциальные уравнения относительного движения подвижных элементов

Уравнения поступательного движения ПЭ в неинерциальной системе отсчета, связанной с корпусом, в векторной форме имеют вид.

где Pⁿ — главный вектор сил давления, действующих на ПЭ; Щ, N" — главные векторы сил трения и нормальных реакций, действующих на ПЭ со стороны направляющих корпуса; F₃ — главный вектор сил аэродинамического сопротивления, приложенных к ПЭ; F,? — реакция элементов форсирования, приложенная к ПЭ; F", F" — главные векторы переносных и кориолисовых сил инерции, действующих на ПЭ; F'¹ — составляющая силы тяжести, приложенная к ПЭ; <�р" — коэффициент присоединенных масс.

Главный вектор переносных сил инерции можно представить в виде.

где F" _c — сила, обусловленная ускорением в поступательном движении ПЭ вместе с центром масс корпуса С_к; F]jj — сила, обусловленная осестремительным ускорением в движении ПЭ относительно системы координат C_KXYZ; FJ}j — сила, обусловленная вращательным ускорением во вращательном движении ПЭ относительно системы координат С_к XYZ. Проекции кориолисовой силы инерции и составляющих главного вектора переносных сил инерции определяются интегрированием сответствующих ускорений по массе ПЭ с учетом поступательности относительного движения ПЭ и допущения о том, что части ПЭ представляют собой осесимметричные тела вращения с осью симметрии С"^". Указанные допущения позволяют проинтегрировать относительную скорость и проекции радиуса-вектора текущей точки ПЭ по его массе и получить следующие выражения для проекций сил инерции.

где.

Здесь [d]" — столбец проекций вектора а в базисе (к", i<2, К3); [a]i — столбец проекций вектора а в базисе (xi.yi.Zi). Проекции силы тяжести на оси, связанные с ПЭ п, вычисляются следующим образом.

Реакции элементов форсирования F| вычисляется аналогично (5.22). Главный вектор сил давления Р^п вычисляется по давлениям во внутренних полостях корпуса. При расчете сил аэродинамического сопротивления, приложенных к ПЭ п, предполагается, что на выходящий из корпуса БЭ действует такая же сила, что и на свободный БЭ, движущийся в невозмущенной атмосфере так же и имеющий такую же длину, что и вышедшая из корпуса часть отделяющегося БЭ. При этом учитываются только лобовое сопротивление и нормальная сила. С учетом того, что положение БЭ в стартовой системе координат определяется положением корпуса и положением направляющей ПЭ в корпусе, и полагая, что 1_п — текущая длина вышедшей из корпуса части отделяющегося БЭ, получим следующие расчетные формулы.

где.

V" .

х" ° = —=?— — орт, сонаправленный со скоростью центра масс отделяю;

I * а I.

щегося БЭ; Z" — текущая длина вышедшей из направляющей корпуса части БЭ;

При движении ПЭ сила трения ПЭ о направляющую рассчитывается по закону трения Кулона.

Проекции нормальной реакции N_n = N_nt]Kⁿ₂+N_niK₂ направляющей ПЭ получаются проектированием уравнения (5.70) на оси С"г|", С_пС,_п с учетом отсутствия относительного движения в этих направлениях и отсутствии соответствующих составляющих у главного вектора сил давления и форсировнания.

где соответствующие проекции сил вычисляются по формулам (5.72)—.

(5.79). __.

Уравнения движения ПЭ в проекции на ось С"г|_п добавляются к уравнениям движения корпуса (5.55)—(5.69). Они имеют вид.

где п = 1,…, NE, NE — число составных ПЭ в корпусе.

Отметим, что движение ПЭ по направляющим в присутствии сил трения и при наличии в конструкции элементов форсирования носит сложный характер. Элемент форсирования может быть конструктивно выполнен неразрушаемым, но препятствующим движению ПЭ до реализации ситуации освобождения ПЭ от удерживающей связи. В этом случае уравнение движения (5.83) начинает решаться в составе системы уравнений только после освобождения ПЭ, что достигается программными средствами, и 8ф = 0. Элементы форсирования могут быть выполнены в виде разрывных болтов или срезаемых штифтов. В этом случае 8ф = 1, если элемент форсирования не разрушен, и 8ф = 0, если разрушен. Разрушение элемента форсирования и страгивание ПЭ происходит, когда суммарная активная нагрузка на болт после вычета силы трения покоя, равной силе трения скольжения, превышает значение, допустимое условиями (5.22). Не удерживаемый элементом форсирования ПЭ может двигаться, но может и покоиться, удерживаемый силой трения покоя (сцепления). Также может иметь место самоторможение и остановка ПЭ под действием активных сил и сил трения. В рамках настоящей работы полагается, что при | V? | > в ПЭ движется и сила трения вычисляется по (5.80). В противном случае, при разрушенном элементе форсирования, если правая часть (5.83) без силы трения по модулю меньше силы трения скольжения, то ПЭ покоится, так как активная нагрузка уравновешивается силой сцепления. Если правая часть (5.83) без силы трения по модулю больше силы трения скольжения, то ПЭ движется в соответствии с уравнением (5.83).