Усиленная аксиома Кантора

5.5.6. Определение. Будем говорить, что упорядоченное поле удовлетворяет усиленной аксиоме Кантора, если для любой последовательности стягивающихся отрезков существует и единственный элемент, который принадлежит всем отрезкам последовательности.

5.5.7. Теорема. Упорядоченное поле удовлетворяет усиленной аксиоме Кантора тогда и только тогда, когда оно является упорядоченным полем действительных чисел.

Доказательство. (=>) Из 5.3.2 вытекает, что упорядоченное иоле действительных чисел удовлетворяет усиленной аксиоме Кантора.

(<=) Пусть упорядоченное поле (Р, +,*,<) удовлетворяет усиленной аксиоме Кантора. Докажем, что оно удовлетворяет аксиоме Архимеда. В соответствии с 5.1.5, достаточно доказать, что для любого положительного элемента а е Р существует натуральное число п такое, что п>а. Предположим противное: пусть существует элемент я>0 такой, что для любого натурального числа п выполняется неравенство п<�а. Тогда а не является натуральным числом, а значит п<�а для любого п. Отсюда — < —.

а п

_/Г1 1_ПЛ

и последовательность ([—,-]) является последовательностью.

а п

вложенных отрезков.

Пусть т — произвольное натуральное число. Для любого натурального числа п>т имеем: (п-т)а>-тп, откуда.

— тп <�па—та и — — < —. Следовательно, рассматриваемая.

п, а т

последовательность является последовательностью стягивающихся.

_D ^{1 2} отрезков. В то же время различные элементы — и — принадлежат всем.

а а

отрезкам данной последовательности, что противоречит усиленной аксиоме Кантора Таким образом, упорядоченное поде (Р, +,-,<) удовлетворяет аксиоме Архимеда, и по 5.3.6, 5.3.8, 5.3.11 является системой действительных чисел. ?

Упражнения

• 1. Докажите, что в упорядоченном поле выполняется аксиома Архимеда тогда и только тогда, когда для всякого элемента существует целая часть.
• 2. Докажите, что если в упорядоченном поле выполняется аксиома Архимеда, то всякое его изоморфное отображение в себя является тождествен ным.
• 3. В кольце многочленов R[x] для любых многочленов

f (x) = a₀xⁿ +Л|Дг^я₁ +… + а_п н h (x)=b₀xⁿ + ЬХ^п~¹ +…+Ь" положим /(л)<�Л (л) тогда и только тогда, когда существует номер к такой, что а_к < /, а для всех номеров / < к имеет место равенство а, = />,. Получим упорядоченное кольцо многочленов (Л[х], +,-,<). Напомним, что в нем не выполняется аксиома Архимеда (см. упражнение 5 § 3 главы 3). Выполняется ли в нем усиленная аксиома Кантора? Как следует из теоремы 5.5.7, в упорядоченном поле отношений лого кольца усиленная аксиома Кантора не выполняется. Найдите в этом упорядоченном поле последовательность стягивающихся отрезков, которая имеет более одного общего элемента.