Порядок выполнения работы

Под растяжением или сжатием понимается такой вид нагружения стержня, при котором возникают только внутренние нормальные (продольные) силы, направленные вдоль его продольной оси.

При растяжении продольная сила направлена по внешней нормали к сечению и принимается положительной, а при сжатии — по внутренней и считается отрицательной.

Все внешние силы, приложенные к стержню, действуют по одной прямой — оси стержня. Поэтому можно составить только одно уравнение равновесия — уравнение проекций всех сил на ось стержня. При наличии двух неизвестных реакций стержень оказывается один раз статически неопределимым.

Дополнительное уравнение деформаций можно получить, учитывая, что сумма удлинений всех участков стержня под действием заданных сил и опорной реакции, заменяющей одну отброшенную опору, равна нулю. Написать это уравнение можно двумя способами:

• 1. Мысленно отбросив одну из опор и приложив к этому концу стержня неизвестную реакцию, определяют продольные усилия на каждом участке стержня и, зная эти усилия и размеры участка, вычисляют удлинения каждого участка. Сумму всех удлинений приравнивают нулю;
• 2. Пользуясь принципом независимости действия сил, при той же схеме нагружения находят удлинения всего стержня от каждой внешней силы в отдельности. Полное удлинение от действия внешних сил приравнивается удлинению стержня от реакции опоры.

Определив по первому или второму способу одну опорную реакцию, вторую можно найти из уравнения статики. Но для контроля правильности решения рекомендуется вторую реакцию также определять из уравнения деформаций, отбросив соответствующую этой реакции заделку. Если реакции найдены верно, то сумма проекций всех сил на продольную ось стержня должна быть равна нулю. В том случае, когда между нижним концом стержня и заделкой имеется зазор, уравнение для определения опорной реакции приравнивают величине этого зазора.

После определения опорных реакций следует найти усилия на отдельных участках стержня (т. е. между точками приложения всех внешних сил, включая и опорные реакции), пользуясь методом сечений, т. е. составляя уравнения равновесия для отдельных участков стержня.

Вычислив значения продольных сил в характерных сечениях стержня, строят эпюру продольных сил, представляющую собой диаграмму изменения значения продольной силы по длине стержня при заданных внешних нагрузках.

При построении эпюры следует написать выражение для N на каждом участке стержня, затем вычислить значения N в начале и конце участка и отложить полученные значения в удобном масштабе перпендикулярно оси эпюры. Ось эпюры (база) располагается параллельно оси стержня. При этом положительные значения продольной силы N откладываются с одной стороны базы (например, справа), отрицательные — с другой (слева).

В местах приложения к стержню внешних сосредоточенных сил на эпюре N должны быть скачки, равные по величине значению этих сил.

Нормальные напряжения в любом поперечном сечении стержня, достаточно удаленном от места приложения нагрузки, принимаются равномерно распределенными по сечению, а их значения определяются по формуле:

(1).

При растяжении стержня нормальные напряжения принимаются положительными, при сжатии — отрицательными.

Для наглядного представления о распределении напряжений по длине стержня строится эпюра напряжений, которая представляет собой график, показывающий, как изменяется напряжение в поперечных сечениях по длине участков стержня. Строится она путем отложения в характерных местах вычисленных значений напряжений.

Построение эпюры напряжений у сходно с построением эпюры продольной силы N. Скачки на эпюре должны быть как в местах приложения сосредоточенных сил, так и в местах изменения поперечного сечения стержня.

Под влиянием внешних нагрузок стержень изменяет свою длину. Абсолютная деформация участка стержня:

? = ?₁ — ?, (2).

где ?₁ — длина участка стержня после приложения нагрузки.

Относительная продольная или линейная деформация участка стержня:

? / ?. (3).

При упругих деформациях материала имеет место линейная зависимость между напряжениями и деформациями (закон Гука):

·. (4).

С учетом этих зависимостей абсолютную деформацию участка стержня можно определить по выражению:

. (5).

Полную деформацию ступенчатого стержня, а также стержня с несколькими участками, в пределах которых Е, N и, А не изменяются, определяется алгебраическим суммированием деформаций всех его участков:

. (6).

Если, например, N и, А переменны по длине участков стержня, то полное удлинение стержня:

. (7).

Здесь интегрирование производится в пределах каждого участка, а суммирование — по всем участкам стержня.

При вычислении полной деформации стержня, а также отдельных его участков не следует отождествлять понятия линейной деформации и перемещения, ибо в некоторых случаях участок стержня может перемещаться, но находится в недеформируемом состоянии.

Эпюра перемещений представляет собой график, ординаты которого изображают отложенные в масштабе перемещения сечений, а абсциссы — расстояния от этих сечений до начала координат, помещенного на неподвижной опоре.

Если перемещения определяются от действия сосредоточенных сил без учета влияния собственного веса стержня, то эпюра перемещений на данном участке представлена прямой, обычно наклонной, поскольку удлинения пропорциональны длине. При наличии на участке распределенной нагрузки эпюра перемещений ограничена квадратичной параболой.

Если на данном участке напряжение отсутствует, то линия эпюры перемещений параллельна базовой линии, т. е. оси стержня.

Стержни, работающие на растяжение или сжатие, испытывают помимо продольных деформаций и поперечные, которые определяются по формуле:

b = b — b₁, (8).

где b₁ — ширина стержня после деформации.

Тогда относительная поперечная деформация:

b / b. (9).

Абсолютная величина отношения относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации называется коэффициентом Пуассона:

—. (10).

Значение этого коэффициента для различных изотропных материалов изменяется: 0 0,5.

Если известен коэффициент Пуассона, можно вычислить изменение объема стержня при растяжении или сжатии и найти относительное изменение объема:

V = A· ?··(1−2); (11).

= V / V = · (1−2); (12).

где А·? — первоначальный объем стержня до деформации.