Движение тела переменной массы. 
Уравнение Мещерского

Если масса тела переменна, например в задаче о ракете, выбрасывающей часть массы в виде продуктов сгорания, то уравнение (2.12) использовать нельзя. Это уравнение относится к некоторому одному телу определенной массы. В случае же взлета ракеты (рис. 2.18) масса ракеты все время уменьшается, так как выбрасываются газы и в каждый данный момент надо рассматривать систему тел ракета — газы. Уравнение (2.12) следует заменить более общим уравнением (2.13), пригодным и для системы тел:

где R — равнодействующая всех внешних сил, действующих на систему извне, a dp — общее изменение импульса системы за время dt. Роль R играет в нашем случае сила тяжести F = mg (а при учете трения о воздух — и _н).

Общий импульс всей системы р складывается из импульса ракеты и импульса газов р = р_рак + р_г, так что.

За время dt импульс ракеты изменится на dp_paK =(т — dm) dv ~ «т dv. Член второго порядка малости отбрасывается. Импульс выброшенных за время dt газов будет dp_r= (pdt)u, где р — секундный расход топлива, а и — скорость истечения продуктов сгорания. Тогда (2.25) можно записать в виде

Это уравнение носит название уравнения Мещерского.

Нужно обратить особое внимание на знаки скоростей и сил. Выберем положительное направление оси х вверх (рис. 2.18, а). Рассмотрим взлет ракеты. Величины Р_гяжи и надо взять с минусом, а скорость ракеты v и приращение этой скорости dv — с плюсом. Если использовать арифметические значения, то надо написать:

Заметим, что при jiu < mg приращение dv будет равно или меньше нуля и ракета не взлетит.

При посадке ракеты надо уменьшать ее скорость так, чтобы в момент соприкасания с грунтом она была близка к нулю. Для этого ракета должна садиться «кормой вперед» и выбрасывать газы так, чтобы замедлять падение (рис. 2.18, б). При этом при выбранном направлении оси х скорость v < 0, a dv > 0.

Выразим из последнего уравнения dv и возьмем интеграл. Для этого приведем в правой части все переменные к одной переменной ттг, используя dm = - р dt:

где т₀ и тп_к — начальная и конечная массы ракеты, а и < 0.

Это и дало основание Циолковскому использовать приближенную формулу.

Рис. 2.18.

которая получила название формулы Циолковского (взято абсолютное значение и).

Пример 1. Ракета массой 300 т содержит 299 т горючего и 1 т полезного груза. Расход топлива ji = 10³ кг/с, скорость истечения газов 4 км/с (постановка задачи сильно упрощена, не учитывается масса топливных баков и двигателей, кроме того, обычно ракеты делаются многоступенчатыми).

Найдем из (2.28) конечную скорость ракеты г?_к:

Второе слагаемое в нашем примере приблизительно в 10 раз меньше первого.

Пример 2. Пусть ракета массой 300 т стартует с Земли. Найдем, через какое время она достигнет высоты 40 км, если каждую секунду будет выбрасывать 1000 кг продуктов сгорания со скоростью и = 4 км/с.

При решении этой задачи на движение тела переменной массы будем использовать формулу (2.26). Полученное дифференциальное уравнение легко решается аналитически (т. е. находятся формулы для v (t) и x (t)) только в том случае, если не учитывать трение и другие обстоятельства, например уменьшение силы тяжести с высотой. Приведем пример компьютерной программы, которая легко и просто справляется с любыми сложностями. Составляя программу, запишем приращение (убывание) массы за время dt:

приращение скорости

приращение пути

приращение времени.

Учтем в программе зависимость силы тяготения от высоты. Программа составляется по следующему алгоритму:

1. Ввод известных параметров (постоянная тяготения, радиус Земли И др.):

• 2. Ввод начальных условий (t> = 0, т = ЗЕ5, t = 0).
• 3. Ввод шага по времени At.
• 4. Цикл наращивания переменных по уравнениям (2.29) — (2.31). В цикле должно быть предусмотрено условие окончания, например: «Если достигнута высота 10 км, то …».

Программа на простейшей версии Бейсика:

Print «Старт ракеты»

тЗ=5.96е24: г3=6.37е6: да=6.67е-11: и=~4еЗ

ти=1еЗ: h=4e4: тг=3е5

v=0: х=0

dt=le-2

Print «Ждите!»

For t=0 to le4 Step dt

r=r3+x: mr-mr-mu^dt f=-ga*mr*m3/(r*r) v=v+(f-mu*u)*dt/mr: x=x+v*dt If x>=h then Goto 1

Next t

1:Print t

End

В пакете программ ПАКПРО это программа Perem_mStartr.bas.

При расчете по этой программе ответ получается очень скоро. Например, при подъеме до высоты 4 км v = 846 м/с, тпг = 182 т (т. е. будет израсходовано 118 т топлива), t = 118 с.

Можно использовать эту программу для получения дополнительной информации:

• — измените программу так, чтобы выяснить, на какой высоте масса ракеты приблизится к нулю (все горючее будет израсходовано);
• — измените в программе значение и. При какой скорости истечения газов ракета вообще не сможет подняться?
• — Постройте на одном графике (разными цветами или оттенками) кривые x (t), v (t) и mr (t).

В приведенном выше решении не было учтено трение об атмосферу; добавьте в программу силу трения FI = - Av, где А положите равным 10 Н*с/м. Еще лучше, если будет учтено, что трение зависит от плотности воздуха, т. е. что А зависит от давления А — А₀р, где р — давление в Па, которое, в свою очередь, зависит от высоты по барометрической формуле:

Давление на уровне моря р₀ = 10⁵ Н/м².

В этом решении еще не было учтено вращение Земли и возникающая вследствие этого в системе, скрепленной с вращающейся Землей, сила Кориолиса (см. раздел 6 главы 2). При расчетах более длительного полета на большую высоту траекторию уже нельзя считать прямолинейной. Движение становится неодномерным. Попробуйте получить решение и в этом случае.

Пример 3. При появлении первых компьютеров очень популярной была задача о посадке на Луну. Эта задача имеет много вариантов разной сложности. Рассмотрим простейший.

Пусть лунный модуль массой 1 т приближается к Луне со скоростью 1 км/с с расстояния 50 км по прямой, соединяющей их центры.

На модуле есть топливо, продукты сгорания которого двигатель выбрасывает со скоростью и = 4 км/с. Как следует управлять расходом топлива (в кг/с), чтобы обеспечить мягкую посадку? (При сближении с поверхностью Луны скорость должна быть близка к нулю.).

Задача похожа на предыдущую, но нужно внимательно проследить за знаком скорости лунного модуля, а также за знаком скорости выбрасываемых продуктов сгорания (так, чтобы замедлять падение, а не ускорять его!).

Решение задачи зависит от желаемого режима посадки (движение равнозамедленное, неравнозамедленное, с минимальным расходом топлива, минимальным временем посадки и т. д.). Потребуем, например, чтобы перегрузки, испытываемые космонавтами или оборудованием, были постоянными в течение всего времени посадки, что возможно при равнозамедленном движении. Выберем ось х, направленную от ракеты к центру Луны (см. рис. 2.18). Пусть в начальный момент времени х = 0. Тогда скорость ракеты v и скорость газов — положительные величины. Для торможения реактивная струя направляется в сторону Луны. Ускорение а найдем из уравнения v₀² = -2aL. В нашем случае а = — 10⁶/(2*5* 10⁴) = = - 10 м/с², а скорость в любой момент времени равна: v = v₀ + at, так что Av = aAt. Сила притяжения к Луне будет равна: F = gmra_L/(RL + L — х). Требуемый секундный расход топлива ц найдем из уравнения Мещерского:

(F >0; а 0; и > 0). Будем наращивать время малыми промежутками At и вычислять каждый раз F, [I, га, v, t и высоту над поверхностью Луны: Н = L - х.

Простейшие программы приведены в пакете ПАКПРО.

Посмотрите там же программу Moon.pas.