Общий случай плоского криволинейного движения

Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, не всегда постоянна по величине и направлена перпендикулярно к скорости, как при равномерном движении по окружности. В общем виде задачу надо решать так: провести плоскость (х, у) через скорость и равнодействующую всех сил, записать уравнения движения отдельно по оси х и по оси у:

разбить каждое из этих двух дифференциальных уравнений второго порядка на два дифференциальных уравнения первого порядка:

и проинтегрировать их. Если такое интегрирование удается произвести аналитически, то решение будет сравнительно простым. Получаются формулы для v_x(t), x (t), v_y(t) и y (t), которые можно использовать для вычерчивания графиков. Исключив из выражения для x (t) и y (t) время t, можно получить траекторию у (х).

Рассмотрим это на примере движения тела в поле силы тяжести у поверхности Земли.

Пример 1. Пусть тело массой т брошено со скоростью v₀ под углом, а к горизонту (рис. 2.23). Какова будет траектория тела? На какую максимальную высоту оно поднимется? Как далеко улетит по горизонтали? Какова длительность полета? Сопротивление воздуха не учитывать.

Рассмотрим отдельно движение по горизонтали (по оси х) и по вертикали (по оси у). Начальную скорость разложим на две составляющих: Vm = u₀cos (a) и = VoSin (a). По оси х никакие силы не действуют, поэтому движение будет равномерным со скоростью v^:

Рис. 2.23.

По оси у движение будет равнозамедленным, так как в этом направлении действует сила тяжести, сообщающая ускорение g. Воспользовавшись (2.19−2.20), получим.

Подъем закончится, когда v_y = v_oy — gt = 0, т. е. время подъема.

Полное время полета будет 2tT = 2VoSin (a)/g, а дальность.

Максимальная дальность будет при sin (2a) = 1, т. е. при a = 45°.

Исключив из (2.41) и (2.43) время t, можно найти зависимость у от х, т. е. траекторию. Получится парабола (рис. 2.23, кривая 1).

На опыте подобные расчеты не оправдываются и практически не имеют смысла, особенно для тел малой массы. Дело в том, что сопротивление воздуха у поверхности Земли нельзя не учитывать. Оно достаточно велико и почти всегда сравнимо с силой тяжести.

Пример 2. Рассмотрим движение тела, брошенного со скоростью v₀ под углом, а к горизонту (рис. 2.23). Это задача об артиллерийском снаряде, мячике, любом другом теле, которому придана вначале скорость v_0l после чего оно предоставлено самому себе. Теперь учтем, что на него действует не только сила тяжести mg, но и сила трения о воздух.

Сила вязкого трения направлена всегда в сторону, противоположную скорости. Записывая ее в виде составим уравнения движения:

Составляющие F_{Tp x} и F_rp#y найдем из чертежа (рис. 2.23):

Если найти v = yjvl + v²_y и подставить в (2.46), полученное F_Ip в (2.49) и (2.50), а результаты — соответственно в (2.47) и (2.48), получатся сложные уравнения, которые так просто, как уравнения (2.40), не проинтегрировать. Аналитический метод оказывается непригодным. Решим задачу численным методом.

Введя обозначения х'= v_x и у'= v_y, уравнения (2.47) и (2.48) можно представить в виде.

Программа должна состоять из ввода параметров и цикла, в котором должны вычисляться v, F_Tр, Fjp’f, F_Tp затем суммарные силы F_x и F_y, после чего — наращиваться текущие значения v_x, v_y, х, у по формулам (2.52) и (2.53) и t по формуле t = (+ At. Здесь же в цикле надо предусмотреть постановку в каждый момент времени точки на график у (х).

Программа на Бейсике приведена в пакете программ ПАКПРО. Это программа Ballist.bas.

На экране должна получиться траектория — баллистическая кривая (рис. 2.23, кривая 2 или 3). Вводя в программу разные значения тп, можно убедиться, что траектория очень сильно зависит от массы тела. Комок смятой бумаги такой же формы, как камень, брошенный с такой же скоростью и под таким же углом, полетит совсем не так (на участке падения траектория будет практически вертикальной). Максимальная дальность полета будет не при угле бросания 45°, а при значительно меньшем (20−30°).

В пакете ПАКПРО приведена программа на Паскале Ballism.pas. В ней делается перебор разных углов бросания и в результате получается серия траекторий.

Нетрудно учесть в программе встречный, попутный или боковой ветер. Ветер, если он дует в ту же сторону, что горизонтальная составляющая скорости, будет ускорять движение, а сила трения, как и раньше, — замедлять его. В результате в программе нужно в формулы для силы трения подставлять не скорость тела относительно земли (v, v_x, v_y, и_г), а скорость относительно движущегося воздуха (v_T= yjv^+v^ +г>4, где.

v_rx = v_x — ю_х, Vry = v_y — w_y, v_r2 = v_z — ю_г, a w_x, w_y, w_z — составляющие скорости ветра относительно земли).

Программа усложняется незначительно (см. программу Ballwind в пакете ПАКПРО).

На данном этапе, рассматривая только двухмерное движение, положим, ю_г = 0. Результаты работы по этой программе очень интересны (рис. 2.24). При сильном ветре тело может полететь совсем не туда, куда его бросили.

Рис. 2.24.

Пример 3. Изменением начальных условий можно получить решение задачи о движении тела, брошенного с высокого места горизонтально (рис. 2.25).

Как и ранее, если не учитывать сопротивление воздуха, задача легко решается аналитически. При написании уравнений для х, у, v_x и v_y надо учесть начальные условия, а именно при t = 0:

Получается система уравнений:

Из (2.57) можно найти время падения, из (2.56) — дальность полета по горизонтали. Исключив t из (2.56) и (2.57), можно получить уравнение траектории (кривая 1 на рисунке 2.25). Траектория будет параболой (одна ее ветвь).

Реально получается совсем другая траектория (кривая 2 на рисунке 2.25) и другие результаты, поскольку сопротивлением атмосферы нельзя пренебрегать, особенно для тел малой массы. Уравнения движения должны быть дополнены, как и в примере 1. Их можно будет решить на компьютере.

Можно воспользоваться теми же программами, которые приведены в предыдущем примере или программой bal в пакете ПАКПРО (или ballist). Только следует изменить начальные условия.

В строках, где подготавливаются экранные координаты для постановки точек на экран, надо сместить начальную точку траектории в левый верхний угол экрана и, возможно, изменить масштабирующий множитель.

Меняя массу тела при неизменных размерах и форме (т. е. оставляя теми же коэффициенты сопротивления воздуха А и В), можно проследить, как при этом меняется траектория.