Произвольное движение (R * const)

В реальных ситуациях силы, действующие на тело, зависят от координаты х (в одном месте дорога лучше, чем в другом), скорости v (сила трения меняется по закону (2.3), (2.4) или какомулибо другому), а также от времени. В результате уравнения движения (2.17) будут сложными:

Даже если функция R (x, v, t) известна, крайне редко удается проинтегрировать уравнения движения аналитически, т. е. получить v (x, t), а затем и x (t) в виде формул. Путь двойного аналитического интегрирования, который мы использовали в предыдущем параграфе, оказывается в большинстве случаев непригодным. На компьютере эта проблема решается довольно просто. Надо прибегнуть к численному методу интегрирования. Он заключается в следующем.

Вернемся снова от бесконечно малых dx, dv, dt к просто малым Да, Av, At. Выберем достаточно малый промежуток времени At. Тогда.

Если в какой-то момент времени t_n координата и скорость имеют значения х иг;, то, подсчитав R (x, v , t ), можно найти и^.их, в следующий момент времени t :

Формулы (2.24) дают возможность «карабкаться» мелкими ступеньками от гг-ых значений к (п+1), затем к (п+2) и т. д. Таких мелких ступенек будет огромное количество, так как At должно быть много меньше (на несколько порядков), чем общее время движения. Вручную на бумаге это сделать невозможно, но современный компьютер делает это очень быстро. Поэтому эту рутинную работу перекладывают на него. Нужно только написать программу на каком-либо алгоритмическом языке, например на Бейсике, Паскале или Си, содержащую цикл повторения вычислений по формулам (2.24), и предусмотреть остановку в нужный момент. По ходу вычислений можно выводить значения ^х_п> ^vn> ¹п^на экР^ан— Но их будет очень много, они будут быстро бежать по экрану и за ними трудно будет уследить. Лучше сразу же в цикле предусмотреть постановку каждый раз точки на графики x (t) и v (t).

Приведем примеры задач на произвольное движение по прямой линии.

Пример 1. Найдем расстояние, которое проходит камень за первую секунду свободного падения (без начальной скорости).

В первые доли секунды при падении тяжелого камня сила трения о воздух мала по сравнению с силой тяжести. Напомним, что сила трения зависит от скорости (см. раздел 1 главы 2), а начальная скорость равна нулю. Тогда единственной силой, действующей на тело, будет сила тяжести, которая сообщает ускорение а = const = g = 9,8 м/с². Движение будет равноускоренным и можно пользоваться формулами (2.19)—(2.21). Задача решается аналитически, по формуле (2.20), приняв начальную точку за начало отсчета (х_с = 0) и, поскольку v_Q = 0, получаем S = gt²/2 = = g/2. В первую секунду тело проходит расстояние, численно равное половине ускорения (= 5 м). При этом скорость будет нарастать от нуля до v = gt, т. е. достигнет значения = 10 м/с.

Пример 2. Мячик небольшого размера массой 100 г падает без начальной скорости с высоты 25 м. Пусть нужно оценить время падения.

В этом случае сила трения сравнима с силой тяжести, и ею никак нельзя пренебрегать. Напишем уравнение движения, пользуясь формулами для силы тяжести и силы трения:

Это дифференциальное уравнение второго порядка, так как содержит вторую производную. Оно содержит также и первую производную, поскольку v = х'. Такое уравнение аналитически не решается, но очень просто решается численным методом на компьютере (см. Приложение 2). Сведем это уравнение к двум уравнениям первого порядка:

Составим программу на Бейсике, ядром которой будут вычисления по этим двум формулам:

m=0.1: g=9.8: h=25: A=le-1: B=le-3 ⁴Ввод параметров

‘в единицах СИ;

⁴значения, А и В взяты из ⁴таблицы раздела 7 х=0: v=0 ⁴Начальные условия

dt=le-4 ⁴Шаг по времени

For t=0 to 1е2 step dt ⁴ Цикл.

v=v+(m*g-A*v-B*v*v)*dt/m

x=x+v*dt

If x>=25 then Goto 1 Next t

I: Print «t="t End

Должно получиться 3,6 секунды. Если же пренебречь сопротивлением воздуха, то получается неверный результат — 2,2 с.

Пример 3. Рассмотрим простейшую задачу на ускоренное (но не равноускоренное!) движение. Пусть сила тяги автомобиля постоянна и равна 500 кгс, масса автомобиля 1 т, но сила трения, естественно, нарастает со скоростью, например по формуле F —Av, где А = 5 Н/(м/с). Как будет двигаться автомобиль, если при t = 0 скорость v = 0 и х = 0?

Ответить на вопрос «как будет двигаться?» — значит определить скорость и координату в любой момент времени. Равноускоренным движение не будет, так как равнодействующая R = Г_тяги— = F_1trH-Av const. Составим простейшую программу на простейшем языке (на Бейсике), но с вычерчиванием графиков пути и скорости от времени:

т=1еЗ

FT=5e2*9.8

А=5

v=0

х=0

dt=0.1

Screen 8

For t=0 to 100 step dt R=FT-A*v v=v+R*dt/m x=x+v*dt Pset (t, 200-x*), 5

Pset (t, 200-v*), 7 Next t End

Rem Ввод параметров в единицах СИ

Rem Ввод начальных условий

Rem Шаг по времени

Rem Переход в графический режим

Rem Начало цикла по времени

Rem Вычисление равнод. в данн. момент

Rem Переход от старого v к новому

Rem Переход от старого х к новому

Rem Постановка на экран точки кривой

Rem… x (t) зеленого цвета

Rem Точка кривой v (t) красного цвета

Rem Конец цикла

После слова Rem (или значка ') пишутся комментарии, на которые компьютер при вычислениях не обращает внимания.

Включите компьютер, войдите в среду языка Бейсик (например, так: —> ТВ, Ent —" tb.exe, Ent), войдите в режим редактирования (Edit, Ent), наберите программу и запустите ее в работу (Run, Ent). На экране получаются графики, из которых видно, как скорость сначала нарастает, а затем движение становится равномерным.

В пакете ПАКПРО приведены другие примеры решения проблем на прямолинейное произвольное движение (программы Us_tran, Usk_po).