Алгебраические и дифференциальные уравнения в математическом моделировании

Остановимся кратко на характеристике математических методов, повсеместно применяемых при реальном математическом моделировании различных явлений и процессов. На примере рассмотренных выше моделей, основанных на качественных интуитивных соображениях, мы познакомились с различными видами уравнений, описывающих модели. Сейчас мы опишем основные типы уравнений, которые наиболее часто используются в математическом моделировании. При этом главное внимание будет уделено вопросу, какой именно тип уравнений целесообразно использовать при моделировании конкретной изучаемой системы, и тем свойствам уравнений, которые позволяют установить и понять соотношение между чисто математическими аспектами и свойствами моделируемых систем.

Алгебраические уравнения.

Как мы видели на примере логистического уравнения, дискретные модели, основанные на анализе алгебраических уравнений, позволяют эффективно исследовать весьма экзотические свойства нелинейных систем. Алгебраические уравнения продолжают до сих пор использоваться в различных научных исследованиях. Теория таких уравнений и систем уравнений разработана для линейных и нелинейных вариантов, поэтому в данном подразделе мы обсудим только некоторые свойства симметрии нелинейных алгебраических уравнений, которые позволяют понизить порядок уравнения и сделать некоторые качественные выводы и предсказания относительно свойств реальных систем, математические модели которых приводят к подобным уравнениям.

Для того чтобы проиллюстрировать нетривиальные, но в то же время обозримые результаты, рассмотрим алгебраическое уравнение 11-й степени, которое обладает следующей зеркальной симметрией коэффициентов:

Несмотря на свой экзотический и весьма искусственный вид, подобные уравнения, как мы увидим ниже, возникают при моделировании химических реакций.

Симметрия коэффициентов уравнения (1) символически может быть представлена как.

ААВВСС ССВВАА.

Запишем уравнение (1) в слегка измененном виде:

Выделяем в (2) общий множитель (х + 1), используя алгебраическое тождество.

Теперь, как нетрудно видеть, мы понижаем порядок уравнения (2), записав Р (х) как.

где /ш (*) дается равенством.

Полином Р₁₀(х) в (5) также обладает свойством зеркальной симметрии коэффициентов: что позволяет снова сократить в два раза число слагаемых в выражении (5):

Обратим внимание на то, что х = 0 не является решением уравнения (1). Выражение (6) может быть упрощено еще больше, если сделать постановку.

Нетрудно убедиться в справедливости следующих тождеств:

Теперь с помощью (7) —(9) соотношение (6) переписывается в простейшем виде:

где

Окончательно уравнение (1) принимает вид.

Итак, исходное уравнение фактически сведено к биквадратному.

которое имеет четыре корня а, а₂, а₃, а₄. После определения этих корней остается решить элементарные уравнения:

пять из которых — квадратные. Итак, получены все 11 корней х, — исходного уравнения, и полином /п (х) в (1) может быть факторизован:

Полином 11-й степени в (1) и само уравнение (1) называются возвратными. Полином произвольной п-й степени.

называется возвратным, если последовательность его коэффициентов обладает зеркальной симметрией:

Преимущества алгебраических моделей, основанных на использовании возвратных уравнений, определяются теоремами:

1. Всякий возвратный полином нечетной степени Р_2п+ (х) делится без остатка на (х + 1), причем частное от деления Р_2п(х) является возвратным полиномом степени 2п.

2. Всякий возвратный полином четной степени Р_2п(х) представим в виде

где z = х + —, a Q (z) — полином степени п. х

Таким образом, задача о нахождении корней полинома степени (2п + 1) сводится к задаче для полинома степени п.

Алгебраические уравнения рассмотренного типа возникают в определенных частных случаях при рассмотрении различных систем, в частности они могут эффективно использоваться при моделировании гетерогенно-каталитических процессов в неидеальных системах. Оптимизация условий протекания химических реакций требует определенных знаний о взаимодействии атомов и молекул на поверхности катализатора, которые могут быть получены путем сочетания данных натурного эксперимента и математического моделирования.

Основу широкого класса моделей, учитывающих взаимодействие адсорбированных частиц, составляет система уравнений следующего вида:

Здесь Гу — симметрическая матрица размерности лх л, описывающая взаимодействие между частицами сортов / и у, адсорбированными поверхностью катализатора; а — набор параметров системы, таких, как температура и парциальные давления компонент газовой смеси. Величины у, и gy подлежат определению, их число равно (л² + л), причем (л — I) — число компонент газовой смеси.

В идеализированной модели, когда r₀ = 1, модель содержит всего (л-1) уравнений:

где / = 1, 2, л-1.

Уменьшить число уравнений в исходной модели (19) можно, если использовать симметрию системы включенных в нее алгебраических связей. Вводим новые переменные х_у (/ = 1, 2, …, л — 1), для которых нелинейные связи удовлетворяются тождественно, а линейные определят зависимость между х, и исключаемыми неизвестными у, и gy. Здесь оказываются возможными различные решения. Один из вариантов основан на введении величин х, / = 1, л-1, таким образом, чтобы были справедливы равенства.

В новых переменных х, исходная система уравнений принимает вид.

Эта система содержит (л — 1) уравнение, как и идеализированная система (20). Таким образом удается понизить порядок системы от (л² + л) до (л -1).