Функции одной переменной

ПОНЯТИЕ ФУНШИИ

Функциональная зависимость

Определение 1. Пусть X и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу х е X по какому-либо закону / поставлен в соответствие один элемент у е У. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от х по закону у =/(х). При этом х называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество X — областью определения (<существования) функции, множество У — областью значений (изменения) функции.

Кроме буквы / для обозначения функции используются и другие буквы; другими буквами может обозначаться и независимая переменная. Примеры записи функций: у = у (х), у = /*(х), у = g (x).

Способы задания функций

Задать функцию — значит указать закон, по которому согласно определению каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие (вычисляется) значение зависимой переменной из области значений функции. Существует три основных способа задания функций: табличный, аналитический и графический.

Табличный способ. Этот способ широко применяется в разных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т. п. Как правило, в таких таблицах по крайней мерс одну из переменных можно принять за независимую (например, время), тогда другие величины будут являться функциями от этого аргумента. По сути дела базы данных основаны на табличном способе задания, хранения и обработки информации, а значит, и на табличной форме функциональной зависимости.

Табличный способ задания функций удобен еще по двум причинам. Во-первых, методами интерполяции можно вычислять не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Во-вторых, соответствующими методами по данным таблицы можно приближенно установить аналитический способ задания функции.

Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формулы. Следует подчеркнуть, что функция может определяться и набором формул: на разных участках области определения функции действуют разные формулы.

Приведем примеры аналитического задания функций.

• 1. у = х*. Эта функция задана на бесконечной прямой -<�" < х < <�". Множество значений этой функции тоже бесконечная числовая прямая — < х. Функция называется кубической параболой.
• 2. y = yj-х². Функция задана на отрезке [-1, 1], множество ее значений — отрезок (0, 1). Это половина окружности, лежащая в верхней координатной полуплоскости.

Термин sign происходит от латинского signum — знак. Функция задана на всем бесконечном промежутке (-°°, <�"), а область ее значений состоит из трех чисел: -1,0, I (рис. 8.1). Стрелки означают, что полупрямые нс достигают точек на оси ординат, так как при х = 0 значение функции определено по другому соответствию.

4. у = И — целая часть от значения аргумента. Функция задана для всех вещественных значений х, а множество ее значений состоит из целых чисел (рис. 8.2).

Функция определена на бесконечном промежутке (-, «>), область ее изменения также бесконечный промежуток (-«>, °°) (рис. 8.3).

Рис. 8.1.

Рис. 8.2.

Рис. 8.3.

6. Функция Дирихле*.

{О, если х — иррациональное число,.

1, если х — рациональное число.

Функция Дирихле определена на всей числовой прямой, а множество ее значений состоит из двух точек: 0 и 1. Изобразить ее графически невозможно.

Графический способ. Здесь соответствие между аргументом и значением функции задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т. п.).