Дифферениирование функции, заданной параметрически

Пусть х и у заданы как функции одной независимой переменной /:

х = Ф (/), у = Р (/), (9.35).

причем они определены и непрерывны на одном и том же промежутке Т. Если для функции х ее производная <�р' (/) отлична от нуля (значит, ф (/) строго монотонна), то существует обратная функция / = у (х)> которая также монотонна, однозначна и дифференцируема на множестве Xзначений функции y (t) в силу теорем об обратной функции. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от аргумента х посредством параметра /:

Рассмотрим пример. Пусть х = г cos /, у — г sin / (0 </ < я). Поскольку функция cos / убывает на указанном промежутке значений /, то эти равенства задают параметрически функцию у от х. Выразим / через х и подставим из первого уравнения во второе:

Последнее уравнение определяет верхнюю полуокружность радиуса г с центром в начале координат.

Теперь выведем формулу для производной функции, заданной параметрически. Пусть функция |/(/) также имеет производную на том же промежутке, что и ф (/). Поскольку ф'(/) ф 0, в силу инвариантности формы первого дифференциала производную функции у (.т) можно записать в виде формулы (9.9):

а из этих формул пролучасм уже выражение для первой производной:

Если для функций ф (/) и ф (/) существуют вторые производные в некоторой точке /, то вторую производную функции у (х) в свою очередь можно рассматривать как производную по х первой производной (9.36), заданной параметрически. Следовательно, по аналогии с формулой (9.36) имеем:

После дифференцирования числителя как частного двух функций окончательно получаем:

Пример 6. Найти первую и вторую производные функции, заданной параметрически: х = cos t> у = sin /, (0 <11? я).

Подстановка в формулу (9.36) дает первую производную:

Подстановка во вторую формулу приводит к выражению: