Исторические ремарки и история происхождения

Если в n независимых испытаниях вероятность исхода Е будет равна р, то число испытаний Х будет распределено по биномиальному закону с параметрами n и p.

Такая ситуация возникает когда из бесконечного набора, у которого все элементы независимы и имеют равную вероятность р принять своё значение, выбирают конечную выборку размера n. Такая ситуация также возникает при выборке из конечного набора большего размера, у которого элементы независимы и отбираются последовательно с заменой.

Биномиальное распределение одно из самых старых. Случай когда был рассмотрен Паскалем, а случай когда где был рассмотрен Джеймсом Бернулли в далёком 1713 году.

Обобщённое биномиальное распределение

1. Определение и моменты. Если последовательность состоит из независимых случайных величин и имеет распределение Бернулли, то мы имеем неоднородную последовательность Бернулли, и в этом случае сумма будет иметь обобщённое биномиальное распределение. Это распределение может быть задано производящей либо характеристической функцией

.

а его среднее и дисперсия имеют вид.

2. Предельные теоремы и аппроксимация.

1) Если, а параметры таковы, что, то нормированная с. в. имеет асимптотически нормальное распределение с параметрами 0 и 1.

2) Если, а параметры меняются так, что, то с. в. имеет в пределе распределение Пуассона с параметром .

Обозначим дополнительно.

.

=.

Имеют место следующие оценки расстояний до пуассоновского и биномиального распределений:

.

Пусть выполняются условия и меняется так, что.

.

Тогда (А.Н. Тимашев, 2011).

где ,.

при, а — единственный положительный корень уравнения.

.

В частности, если, дополнительно, все, то.

где.

при, а также.

и.

.

Структура центральных же моментов (ц.м.) более сложна, это видно по ц.м. низших порядков представленных ниже:

Коэффициенты моментов ищутся по следующим формулам:

Также было выведено соотношение коэффициентов для фиксированных Заметно, что при точки приближаются к пределам: Также интересно, что это соотношение при изменении местами не меняется. Два распределения, являющиеся зеркальными отражениями друг друга, имеют одинаковое значение второго коэффициента и одинаковое абсолютное значение корня из первого. Также видно что значение дроби всегда меньше 1. Предел отношения достигается (и он равен 1) при принятии р значений 0 или 1. При биномиальное распределение симметрично и. Когда ложится на прямую (это выражение всегда неотрицательно, кстати). Имеется также рекурсивная формула для центральных моментов:

.

Аналогичным методом получается и выражение для центральных моментов около нуля:

Возможно использование дифференциации центральных моментов для вывода соотношений:

Есть и более простая рекурсивная форма, содержащая кумулянты.

В первоначальной формуле для вычисления ц.м. есть и неполные моменты, определяемые как.

Главное значение находится по следующей формуле.