Схема исследования графика функции

Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика.

• 1. Найти область определения функции.
• 2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции. Функция /(*) называется четной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно оси Оу:

Функция f (x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат О (0, 0):

При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем отобразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (10.29) (рис. 10.14, а) или с центральной симметрией в случае (10.30) (рис. 10.14, б). График функции общего типа необходимо исследовать и построить на всей области ее определения.

• 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ох и Оу, т. е. решить соответственно уравнения у = / (0) и / (х) = 0.
• 4. Найти асимптоты.
• 5. Найти точки возможного экстремума.
• 6. Найти критические точки.
• 7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить участки монотонности функции, направление выпуклости графика, точки экстремума и перегиба.

Рис. 10.14.

• 8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок (д, ?], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить эти значения с внутренними экстремумами.
• 9. Построить график функции с учетом проведенного исследования. Приведем два примера на построение графиков функций по изложенной

схеме.

Пример 12.

• 1. Областью определения данной функции является вся числовая прямая.
• 2. /(-х) =/(х), т. е. функция четная; построим ее график на правой полуплоскости х > 0 и затем отобразим на левую полуплоскость зеркально относительно оси Оу.
• 3. у — 0 при х — 0 и из уравнения /(х) - 0 следует х — 0, т. е. график функции пересекается с осями координат в точке О (0, 0).
• 4. Вертикальных асимптот нет, поскольку нет точек разрыва функции; наклонные (горизонтальные) асимптоты находим с использованием формул (10.27) и (10.28) и применением правила Лопиталя:

Стало быть, уравнение асимптоты у = 0 — это ось Ох.

5. Находим точки возможного экстремума, для чего вычислим первую производную функции и приравняем ее нулю:

/'(*) = 0, или 2х (1 —х²) ехр (-х²) = 0, откуда получаем х, = 0 и х₂ = ±1 (так как экспонента никогда не равна нулю).

6. Критические точки находятся путем приравнивания второй производной функции нулю:

/" (х) = 0, откуда 2 (lx⁴ — 5х² + 1) ехр (-х²) = 0.

Следовательно, критические точки являются решениями биквадратного уравнения 2х⁴ — 5jc² + 1 = 0: х, = ±(,/5-Тй)/*. =±(^5 + -Л7)Д.

7. Производная положительна при х е (0, 1) и отрицательна при х > 1, т. е. в точке х = 0 функция имеет локальный минимум, а в точках х = +1 — локальный максимум. На интервале (0, 1) функция возрастает от нуля до i/e, на промежутке (I, -н") она убывает от /е до нуля.

Нетрудно проверить, что критические точки, определенные в п. 6, являются точками перегиба графика функции. Слева от точки х,/" (х) > 0, справа — f" (x) < 0, т. е. на интервале (0, х,) выпуклость графика функции (10.31) вниз, на (л, х₂) функция выпукла вверх и на (х_2> +<�") выпуклость направлена опять вниз.

• 8. Поскольку область определения функции (10.31) вся числовая прямая, то минимум и максимум этой функции совпадают с ее соответствующими локальными экстремумами.
• 9. График функции приведен на рис. 10.15. Функция всюду неотрицательна (fix) > 0).

Рис. 10.15.

Пример 13.

Действуем по приведенной схеме.

• 1. Область определения функции: х * 0.
• 2. Функция (10.32) является нечетной.
• 3. Уравнение/(х) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересечения с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п. 1.
• 4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как предел f (x) при х —> 0 бесконечен: f (x) —" +"> при х -> 0-,/(х) -" -<�" при х -> 0+.

Определяем наклонную асимптоту.

Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.

• 5.
• 6. 7.

х^ 1.

f'(x) = —г—, т. е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экс- х¹

тремума нет. В области определения f'(x) везде положительна. f" (x) — -2/х³ — критических точек нет.

Функция (10.32) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положительна.

В левой координатном полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (/" (а) > 0), в правой — вверх if" {х) < 0).

• 8. Наибольшего и наименьшего значений функции нс существует, поскольку область ее значений неограничена.
• 9. График функции (10.32) приведен на рис. 10.16.

Рис. 10.16.

В заключение докажем справедливость следующего утверждения: всякую функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций. Действительно, произвольную функциюf{x) можно представить в виде тождественной записи:

Прямой подстановкой —х вместо х нетрудно убедиться, что первое слагаемое является четной функцией, а второе — нечетной.