Между элементами определено отношение, то есть для любой упорядоченной пары элементов из установлено, выполняется соотношение или нет. При этом имеют место следующие свойства.
Рефлексивность. Для любого ,.
Антисимметричность. Для любых ,.
Транзитивность. Для любых ,.
Линейная упорядоченность. Для любых ,.
Связь сложения и порядка. Для любых ,.
Связь умножения и порядка. Для любых ,.
Аксиомы непрерывности
Каковы бы ни были непустые множества и, такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство, существует такое число, что для всех и имеет место соотношение.
Вышеуказанных аксиом вполне достаточно, для того, чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел[16].
Выражаясь языком современной алгебры аксиомы первой группы обозначают, что множество является полем. Аксиомы второй группы — что множество является линейно упорядоченным множеством (—), и кроме того, отношение порядка согласовано со структурой поля — ., Упорядоченными полями называются множества, которые удовлетворяют аксиомам первой и второй группы. И вот, последняя группа, которая состоит из одной аксиомы, показывает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности. Свойство непрерывности также называют полнотой. Резюмируя, мы можем дать эквивалентное определение множества вещественных чисел — множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.
