Квадратичные иррациональности. 
Математика в экономике

Рассмотрим интеграл от рациональной функции.

1. Если трехчлен ах² + Ьх + с имеет вещественные корни х, и х₂ и а> 0, то при д, * х₂ имеем:

откуда где /?, — другая рациональная функция, т. е. интеграл (11.21) сводится к случаю, рассмотренному в п. 11.6.1.

• 2. Трехчлен ах² + Ьх + с не имеет действительных корней. Тогда интеграл
• (11.21) рационализируется подстановкой Эйлера*:

Возводя в квадрат обе части, получаем:

•Эйлер Леопард (1707—1783) — математик швейцарского происхождения.

Нетрудно видеть, что при подстановке формул (11.23) в интеграл (11.21) получается интеграл от рациональной функции аргумента V.

При а0 В квадратном трехчлене ах² + Ьх + с для рационализации интеграла (11.21) применяется другая подстановка Эйлера:

Следует заметить, что подстановки Эйлера представляют собой достаточно сильный метод вычисления интегралов; однако они приводят к громоздким выражениям и выкладкам, и потому их целесообразно применять при отсутствии другой возможности.

Пример 19. Найти интеграл f——-—.

^J у]х² + к

Этот интеграл является табличным, тем нс менее он вычисляется при помоин: подстановки Эйлера (11.21):

Подставляя эти формулы в исходный интеграл, получаем: