Основная теорема арифметики
Кольцо целых чисел Z евклидово (см. пример 2.24). Делителями единицы в этом кольце являются ±1. Поэтому из теоремы 2.39 вытекает следствие, известное как основная теорема арифметики: всякое положительное целое число разлагается в произведение простых чисел однозначно с точностью до перестановки множителей. База индукции: п = 0, делители единицы. Пусть делитель единицы е является произведением… Читать ещё >
Основная теорема арифметики (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Одним из следствий теоремы 2.36 является то, что в кольце классов вычетов по модулю (р), где (р) — простой идеал, нет делителей нуля (выше было доказано, что их нет в любом теле). Из этого факта получается важное усиление теоремы 2.35.
Теорема 2.39. Каждый элемент евклидова кольца однозначно разлагается в произведение простых элементов с точностью до делителей единицы. Это означает, что если есть два разложения в произведение простых
(е, 6 — делители единицы), то п = т и существует такая перестановка индексов а, что р{. = ?а^ г^е е* ~ делители единицы.
Доказательство. Индукция, но длине кратчайшего разложения в произведение простых.
База индукции: п = 0, делители единицы. Пусть делитель единицы е является произведением простых элементов <7i<72 • • • Ят- Тогда q — делитель единицы, так как ?~lq2 • • • Яm является обратным к q. Но это противоречит определению простоты. Значит, т = 0.
Пусть утверждение теоремы выполнено для всех элементов кольца, которые разлагаются в произведение не более чем п простых. Рассмотрим два разложения на простые:
Поскольку в кольце вычетов по модулю (pn+i) нет делителей нуля, один из сомножителей в правой части должен делиться на Pn+i • С точностью до перенумерации элементов можно считать, что это — qm. Из простоты рп+1, qm вытекает, что Рп+1 = еп+1.
Осталось применить предположение индукции к этим разложениям. ?
Кольцо целых чисел Z евклидово (см. пример 2.24). Делителями единицы в этом кольце являются ±1. Поэтому из теоремы 2.39 вытекает следствие, известное как основная теорема арифметики: всякое положительное целое число разлагается в произведение простых чисел однозначно с точностью до перестановки множителей.
Замечание 2.40. Кольца, в которых любой элемент однозначно в смысле теоремы 2.39 разлагается на простые множители, называются факториалънылш. Теорема 2.39 утверждает, что все евклидовы кольца факториальны. Обратное неверно. Можно, например, доказать, что кольцо многочленов от двух переменных Q[x% у] является факториальным. По это кольцо не является евклидовым, потому что не является кольцом главных идеалов. Многочлены, у которых свободный член равен 0, образуют в этом кольце идеал и легко проверить, что этот идеал не является главным.