Составить канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями

L:

Решение. Чтобы составить канонические уравнения прямой нужно знать какую-либо точку на этой прямой и какой-либо направляющий вектор. Найдем координаты точки, для этого нужно найти общее решение данной системы двух уравнений, а затем выбрать какое-либо частное решение. Мы поступим несколько иначе, сразу выберем частное решение, для этого придадим какой-либо переменной числовое значение. Тогда останется только две переменные, и система станет определенной. Решая полученную систему, найдем числовые значения оставшихся переменных, а, следовательно, и координаты точки на заданной прямой. Пусть x=0, тогда:

Таким образом, M (0,1,1)L. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор:

q=n1n2,.

где n1 и n2 — направляющие векторы плоскостей, входящих в общие уравнения прямой. Так как:

n1={1;3;2}, n1={5;1;2}, то%.

Таким образом, L:

Вывести уравнение кривой, сумма расстояний, от каждой точки которой до двух точек A (-4;0) и B (4;0) есть величина постоянная и равная 10.

Решение. Обозначим через M (x, y) произвольную точку кривой. Запишем геометрическое свойство точек кривой:

|AM| + |BM| = 10.

Распишем это уравнение:

.

Перепишем это уравнение следующим образом:

и возведем обе части в квадрат:

.

после упрощений получим:

.

Сократив полученное уравнение на 4, возведем его еще раз в квадрат:

.

Раскроем скобки:

16×2−200x+625 = 25×2−200x+400+25y2 9×2+25y2 = 225.

Отсюда получаем:

.

Это есть каноническое уравнение эллипса.