Производная по направлению

Пусть функция двух переменных и = /(Л/) задана в некоторой окрестности точки Л/(х, >>). Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором / = {cosa, cosp}, где cos² a + cos² (3 = 1 (рис. 15.3). На прямой, проходящей по этому направлению через точку Л/, возьмем точку Л/, (х + Ах, у + Ду),.

так что длина Д/ отрезка Л/Л/, равна Al = yj (Axf +(Ayf. Приращение функции /(Л/) определяется формулой.

где Дх и Ду связаны соотношениями.

А и.

Определение 6. Предел отношения — при А/ —" 0 называется производ-

АI

ной функции и — /(Л/) в точке М (х, у) по направлению I и обозначается симво- ди

лом —:

а/.

Рис. 15.3.

Если функция f (M) дифференцируема в точке М (х, у), то се приращение в этой точке с учетом соотношений для Ах и Ау может быть записано в форме (15.11):

Поделив обе части этого равенства на Д/ и переходя к пределу при Д/ —> О, получаем формулу для производной функции и = f (x, у) по направлению:

Аналогичным образом для функции, определенной и дифференцируемой в некоторой окрестности точки М евклидова пространства ?^w, определяется производная по направлению единичного /я-мерного вектора.

Т = {cosct|, cosa₂,…" cosa_OT}:

Найдем производные следующих функций по направлению.

где Пример Ю. z = х² + у² в точке М(1, 1), направление составляет с осью Ох угол a = п/3.

Следовательно, угол р = я/6; по формуле (15.24) имеем:

В точке Л/(1, 1) получаем:

х² v² о

Пример 11. м = — + — - г в точке Л/ (2, 3, 1), направление совпадает с ра- 2 9.

диус-вектором этой точки.

Сначала находим координаты единичного вектора данного направления: радиус-вектор м = {2, 3,1}, его длина a = yf4, значит, a = 2/Vl4, cosр = 3/VT4, cosy = 1/V14. Теперь по формуле (15.25) при т - 3 имеем:

В точке Л/(2, 3, 1) производная по направлению равна: