Закон распределения функционала от случайных величин

Пусть задано взаимно однозначное функциональное преобразование системы СВ

и известно обратное преобразование.

Требуется найти плотность распределения g (U, V) системы СВ ({/, V), если известна плотность распределения f (x, у) системы СВ (X, Y). В силу взаимнооднозначное™ преобразования каждой точке М_{ на плоскости хОу соответствует точка М₂ на плоскости иОъ

поэтому события {(х, у) а Д,} и {{и, v) е Д₂} эквивалентны и их вероятности равны. Поэтому.

где |,/| — якобиан преобразования в точке М,.

Пример 4.1. Пусть.

— это преобразование прямоугольных координат, состоящее в повороте осей координат на угол а:

Это значит, что плотность распределения в точке (U, V) совпадает с плотностью распределения в соответствующей точке (X, У).

В частности, если Z = ср (Х, У) и /(х, у) — плотность распределения СВ (X, У), введем СВ Z, = X и рассмотрим преобразования.

Пусть обратное преобразование, однозначно ему соответствующее, есть

и оно дифференцируемо. Тогда по формуле (4.6) получим g (z, z,):

Интегрируя это выражение по 2, = х к бесконечных пределах, получим искомую плотность g,(г) СВ Z:

Теперь из формулы (4.7) можно снова получить формулы плотностей конкретных форм функций.

Y).

1. Закон распределения суммы СВ Z = X + Y.

Тогда по формуле (4.7).

В случае независимых СВ X и Y

2. Закон распределения разности Z = X — Y. Тогда по формуле (4.7).

В случае независимых СВ X и У.

3. Закон распределения произведения Z = XY.

Тогда, но формуле (4.7).

В частности, при независимых СВ X и Y

Тогда по формуле (4.7).

В частности, при независимых СВ X и Y