Модель Самуэльсона — Хикса

Модель Самуэльсона — Хикса включает в себя только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными; объем предложения благ совершенно эластичен.

Объем потребления домашних хозяйств в текущем периоде зависит от величины их дохода в предшествующем периоде.

где С_{а t} — автономное потребление в текущем периоде.

Предприниматели осуществляют автономные инвестиции (1_{а г}), объем которых при заданной ставке процента фиксирован, и индуцированные инвестиции (I_{jn г}), зависящие от прироста совокупного спроса в предшествующем периоде и величины акселератора (ц):

На рынке благ установится динамическое равновесие, если где А₍ = C_at + I_{(l t}.

Уравнение (9.1) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.

При фиксированной величине автономных расходов (A_r = А = const) в экономике достигается динамическое равновесие, когда объем национального дохода стабилизируется на определенном уровне у, т. е. y_t ⁼ Ус-1 = Уг-2 ⁼ — ⁼ Уг-п ⁼ У> ^гЛ^{е п} ~ ^число периодов с неизменной величиной автономных расходов.

Из уравнения (9.1) следует, что у =А/( 1 — С_/у).

Посмотрим, какова будет динамика национального дохода, если в состоянии динамического равновесия изменится величина автономного спроса.

Освободимся от неоднородности в уравнении (9.1). Значения y_t и у удовлетворяют равенству (9.1), поэтому можно записать следующее однородное конечно-разностное уравнение второй степени с постоянными коэффициентами:

где Ay_t=y_t-y._.

Так как y_t=y + Ay_t, то направление изменения y_t определяется направлением изменения Ду_г

Из теории решения дифференциальных и конечно-разностных уравнений^[1] следует, что характер изменения Дy_t зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения. Поскольку в данном случае дискриминант равен (C_v +т|)² -4л, то динамика национального дохода зависит от предельной склонности к потреблению, определяющей величину мультипликатора и акселератора.

Если {С_у + л)² -4л > 0, то изменение y_t происходит монотонно; при {С_у + л)² -4л < 0 оно будет колебательным. Следовательно, график функции С_у = - л + 27л, изображенный на рис. 9.3, отделяет множество сочетаний С _у л, обеспечивающих монотонное изменение у_р от множества комбинаций из значений С_у, л, приводящих к колебаниям у_г

Рис. 9.3. Области сочетаний С_у, л Устремляется ли значение y_t к некоторой конечной величине или уходит в бесконечность, зависит от значения последнего слагаемого характеристического уравнения. Если r< 1, то равновесие установится на определенном уровне. При г> нарушенное равновесие больше не восстановится. Когда Л = 1, тогда величина y_t будет колебаться с постоянной амплитудой.

В результате все множество сочетаний С и л оказалось разделенным на пять областей, как это показано на рис. 9.4. Если значения С_у и л указывают на область I, то после нарушения равновесия в результате изменения автономного спроса значение y_t монотонно устремится к новому равновесному уровню у₁ = А₁/(1- С_у). При значениях С_у и л, находящихся в области II, национальный доход достигнет нового равновесного уровня, пройдя через затухающие колебания. Сочетания значений С_у и г, расположенные справа от перпендикуляра, опущенного из точки В на ось абсцисс, соответствуют нестабильному равновесию. Когда сочетания значений С_у} л указывают на область III, тогда динамика y_t приобретает характер взрывных колебаний. Комбинации значений С , л ^в области IV приводят к тому, что после нарушения равновесия y_t монотонно устремляется в бесконечность. И наконец, если акселератор равен единице (пятая область), то при любом значении предельной склонности к потреблению в случае нарушения равновесия возникают равномерные незатухающие колебания у_г

Пример 9.1

Заданы функция потребления домашних хозяйств: C_f =50 + 0,8y_f и функция спроса предпринимателей на автономные и индуцированные инвестиции: I_t = 250 + г|(У{-1 ~У 1-2)' В течение некоторого времени до периода t₀ включительно экономика находится в динамическом равновесии при спросе предпринимателей на автономные инвестиции в объеме 250 ден. ед. Это значит, что в каждом периоде производилось 1500 ед. благ, из которых 50 + 0,8 • 1500 = 1250 потребляют домашние хозяйства. С периода t_{ предприниматели решили, что объем автономных инвестиций должен равняться 350 ден. ед. Как в результате реализации этого решения будет меняться величина совокупного спроса (следовательно, и национального дохода) при четырех различных сочетаниях С, rj, представленных на рис. 9Л точками а, /;, с и d, показано в табл. 9.2—9.5.

Рис. 9.4. Динамика национального дохода после изменения автономного спроса при различных сочетаниях С_у, г|.

Таблица 9.2. Динамика национального дохода при С = 0,8; Г| = 0,25.

Таблица 9.3. Динамика национального дохода при С_у = 0,8; п = 0,75.

Таблица 9.5. Динамика национального дохода при С_у = 0,8; п = 2,3.

В рассматриваемой модели динамика национального дохода в случаях, когда сочетания С_у, д соответствуют областям III и IV (cm. рис. 9.3), представляется неправдоподобной: не может в коротком периоде объем производства многократно возрасти или снизится. Это противоречие объясняется тем, что в модели не были учтены два обстоятельства. Во-первых, произведенный национальный доход не может существенно превысить национальный доход полной занятости; этим ограничивается амплитуда колебаний объема национального дохода сверху. Во-вторых, как отмечалось в подпараграфе 3.1.2, объем отрицательных индуцированных инвестиций не может превысить сумму амортизации; это ограничивает амплитуду колебания национального дохода снизу. В результате, когда сочетания С_у, г| соответствуют областям III и IV, модель взаимодействия мультипликатора и акселератора принимает вид.

гае hn. t = ^max {-Д Л (г/, _ 1 — У, _ ₂)}.если У, <�У_Р, ^и h,. с = У< ~^Ct~ К, i ^ПР^И Ус * У г С учетом этих обстоятельств приращение автономных инвестиций приводит к колебаниям национального дохода даже при нахождении сочетания С, г| в области IV.

Пример 9.1 (продолжение!)

Добавим к условиям примера 9.1 ограничения: y_F= 3000 и D = 500. Тогда при значениях С_у = 0,8 и г| = 2,3 после увеличения автономных инвестиций на 100 ден. ед. величина национального дохода не устремляется в бесконечность, как представлено на рис. 9.4, а колеблется в интервале {158; 3000} (рис. 9.5 и табл. 9.6).

Рис. 9.5. Границы амплитуды колебания национального дохода.

Таблица 9.6. Взаимодействие мультипликатора и акселератора при С_у = 0,8, Г| = 2,3,= 3000, D = 500.

Включим в модель взаимодействия мультипликатора и акселератора еще один фактор — рост населения. Пусть в результате роста населения автономный спрос ежегодно увеличивается в (1 + п) раз. Тогда уравнение (9.1) принимает вид.

где А₀ — автономный спрос в нулевом периоде.

В этом случае вследствие мультипликативного эффекта величина равновесного национального дохода ежегодно будет возрастать в (1 + п) раз:

Первый сомножитель в правой части выражения (9.3) называют супермультипликатором Хикса. Он показывает, насколько увеличивается совокупный спрос в году U если в дополнение к ежегодному росту автономного спроса, обусловленного ростом населения, на единицу возрастут автономные инвестиции.

Вследствие ежегодного увеличения населения с тем же темпом будут расти автономные расходы и национальный доход полной занятости — верхний предел возможных колебаний национального дохода.

Экзогенный рост автономного спроса повышает и нижнюю границу колебаний национального дохода, даже если допустить рост амортизационных отчислений с тем же темпом, что и автономный спрос.

Тогда в ситуациях, соответствующих областям III и IV, после увеличения автономного спроса с темпом (1 + п) колебания национального дохода будут происходить в наклонном коридоре.

Пусть в периоде t₀ установилось равновесие при С = 0,75у, 1_а = 200; у = 800; ц = 2,2; D = = ]()(); (//,= 1500. С периода t, автономные инвестиции и амортизационный фонд возрастают с темпом 1,03. Колебания национального дохода в этих условиях представлены в табл. 9.7 и на рис. 9.6.

Таблица 9.7. Взаимодействие мультипликатора и акселератора при постоянном росте автономных расходов и фонда амортизации.

Рис. 9.6. Динамика национального дохода при сочетаниях С_у, д в областях III и IV в случае постоянного роста автономных расходов и амортизационных отчислений.

• [1] См., например: Тихонов Л. II., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М., 1980. Гл. 3. «Линейные дифференциальные уравнения».