Особенности организации системы заданий

Можно говорить об организации системы заданий, выделяя два аспекта.

• 1. Построение системы заданий в рамках учебной темы.
• 2. Построение системы заданий в рамках линии тождественных преобразований школьного курса алгебры и начал анализа.

Ирм этом необходимо разнообразить формулировку заданий (заменить тождественно равным выражением; найти разность, отношение, …; найти ошибку; при каких условиях?). Показав учащимся применение ТП к иррациональным алгебраическим выражениям, учитель, выполняя задания, вместе с учениками может сформулировать или подвести учеников к формулированию рекомендаций и в блоке заданий для самостоятельной работы организовать подсказки. После рекомендаций приведен пример.

Рекомендация 1. При выполнении ТП иррациональных выражений необходимо следить за областью определения выражения, так как может происходить расширение области определения, если мы в преобразованиях «избавляемся» от корней четной степени из выражения. Поэтому, хотя обычно в заданиях на упрощение считается, что все преобразования выполняются на области определения выражения, целесообразно в заданиях выделять эту область. Область определения иррациональных выражений — множество всех таких значений переменных, стоящих под знаком корня четной степени, при которых подкоренное выражение больше нуля (иначе невыполнима операция извлечения из-под знака корня четной степени). Умение находить область определения выражения потребуется при решении уравнений и неравенств, включающих иррациональные выражения.

Рекомендация 2. При преобразовании иррациональных выражений к подкоренным выражениям применяются либо ТП целых, либо ТП дробно-рациональных, поэтому используйте приемы, рассмотренные в предыдущих разделах.

Рекомендация 3. Для исключения иррациональности в знаменателе обычно используют следующие способы:

• • умножение числителя и знаменателя на корень, стоящий в знаменателе;
• • умножение числителя и знаменателя на корень, подкоренное выражение которого является сопряженным к подкоренному выражению знаменателя;
• • проверка, не представляет ли подкоренное выражение полный квадрат.

Пример Доказать, что выражение является целым числом:

Подсказка: согласно рекомендации 3, чтобы избавиться от иррациональности, надо проверить, не стоит ли под первым корнем полный квадрат.

На этапе обобщения темы целесообразно предлагать задания, в которых в одном столбце даны выражения, которые надо упростить, а во втором — основные виды ТП иррациональных выражений. Требуется установить соответствие между выражением и видом ТП, с помощью которого его можно преобразовать наиболее рационально.

Задания для самостоятельной работы должны иметь разные формулировки, что будет способствовать пониманию учащимися функций применения тождественных преобразований и развитию вариативности мышления. Рассмотрим возможные задания.

• 1. При каких значениях х выражение принимает положительные значения: х² + 3х-1х² + Здг-1 — 7.
• 2. Ученик, упрощая выражение, записал следующие преобразования. Правильны ли они? Какие виды ТП он использовал?

3. Упростить выражение f{a, b):

4. Какие значения может принимать функция /(а) и при каких условиях?

5. Допустил ли ученик ошибки, упрощая выражение.

Подсказка. Домножить числитель и знаменатель каждой дроби под корнем на выражение, сопряженное знаменателю этой же дроби. Использовать свойство арифметического корня и учесть знак подмодульного выражения.