Пересечение прямой линии с кривой поверхностью

Для построения точки пересечения прямой линии (АВ на рис. 9.16) с кривой поверхностьюр выполняют следующие построения:

• — заключают прямую линию во вспомогательную плоскость, например плоскость у;
• — строят линию пересечения (CD) вспомогательной плоскости с заданной кривой поверхностью;
• — определяют точку пересечения (К) прямой (АВ) с построенной линией пересечения (CD).

Рис. 9.16.

С замкнутой кривой поверхностью прямая пересекается в двух и более точках. Если прямая пересекает поверхность в одной точке, то она обычно является касательной к поверхности.

Вспомогательную плоскость, проводимую через прямую при построении точек пересечения прямой с кривой поверхностью, стремятся выбрать так, чтобы она пересекала кривую поверхность по линии, простейшей для построения на чертеже. Желательно, чтобы это были прямые или окружности.

Рис. 9.17.

Рассмотрим некоторые примеры.

Построение точек пересечения прямой линии с цилиндром (рис. 9.17). Для построения точек пересечения прямой АВ общего положения с поверхностью наклонного кругового цилиндра выберем вспомогательную плоскость, параллельную оси цилиндра. Эта плоскость пересекает цилиндр по прямым — образующим, параллельным оси.

В соответствии с общим планом решения задачи на рис. 9.17 выполнены построения в следующем порядке:

• — прямая АВ заключена во вспомогательную плоскость, параллельную оси цилиндра, для чего через проекции М", М' произвольной точки Мна прямой АВ проведены проекции M" N", M’N' прямой MN, параллельной оси цилиндра. Проекции пересекающихся прямых АВ и MNзадают на чертеже вспомогательную плоскость;
• — построены проекции 3 «5″, 3'5', 4″ 6″, 4'6' линий пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью цилиндра на его проекциях. Для этого построена горизонтальная проекция линии пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью основания цилиндра — плоскостью тг_ь проходящая через проекции 1' и 2', найдены точки с проекциями 3', 4' ее пересечения с окружностью основания цилиндра. Искомые проекции линий пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью цилиндра проходят через проекции 3", 3' и 4″, 4' параллельно проекциям оси цилиндра — проекции 3″ 5″, 3'5' и 4″ 6″, 4'6';
• — определены проекции К», К' и L", L' искомых точек Ктл L пересечения прямой АВс поверхностью цилиндра в пересечении проекций 3″ 5″ и 4″ 6″ с А" В" и 3'5' и 4'6' с А’В'
• — определена видимость для участков прямой АВ с учетом того, что цилиндр непрозрачен. Зоны видимости на фронтальной проекции определены по положению горизонтальных проекций точек 3' и 4' цилиндра. При взгляде по стрелке S очевидно, что точки 3, 5 и соответственно образующая 3—5 видимы, а точки 4, 6и образующая 4—6невидимы. Соответственно на фронтальной проекции отрезок А «К» проекции прямой видим. Справа от точки К" прямая до точки L « проходит внутри цилиндра и справа от точки L « закрывается цилиндром, т. е. невидима. На горизонтальной проекции образующие 3 '5' и 4 '6' видимы, невидимая часть прямой Л# — отрезок К «L «.

Построение точек пересечения прямой линии с конусом (рис. 9.18). Чертеж конуса с проекциями вершины G «, G' и прямой с проекциями А «В «, А 'В' приведен на рис. 9.18, а. Для построения точек пересечения прямой и конуса используют вспомогательную плоскость. Плоскость, проходящая через вершину конуса и заданную прямую (плоскость а на рис. 9.18, в), пересекает конус по образующим. Плоскость, а пересекает плоскость основания конуса по прямой DE. Образующие, по которым плоскость, а пересекает конус, определяются вершиной Gh точками /и 2. На этих образующих и получаются точки М к N, в которых прямая пересекает поверхность конуса.

На рис. 9.18,6 плоскость а задана проекциями А" В", А 'В' прямой АВ и проекциями G" C", G’C' прямой, проведенной через вершину G, пересекающей прямую АВ в точке С и параллельной плоскости основания конуса. Плоскость, а пересекает плоскость основания конуса по прямой DE, параллельной GC. Построив проекции D « и D', проводим D 'Е' || G’C'. Образующие, по которым плоскость, а пересекает поверхность конуса, изображены лишь горизонтальными проекциями G '1' и G '2'. В пересечении их с горизонтальной проекцией А’В' найдены горизонтальные проекции М' и N' точек пересе;

Рис. 9.18.

чения, а по ним проекции М « и N» . На горизонтальной проекции отрезок прямой между точками М и N закрыт поверхностью конуса. На фронтальной проекции образующие G2w G3видимы. Следовательно, невидимый отрезок прямой АВ находится только между проекциями М" и N" .

Построение точки пересечения прямой линии со сферой (рис. 9.19). Используя вспомогательную секущую плоскость, проходящую через данную прямую, получают окружность. Искомые точки К и L получаются при пересечении этой окружности с прямой линией. На рис. 9.19 построения выполнены способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций п₄ выбирают параллельной вспомогательной, например, горизонтально проецирующей плоскости 5(8'). В этом случае линия пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью сферы р (р", р') проецируется на плоскость л₄ в окружность с центром С^lv, с которой проекция A ^lvfi^lv прямой линии пересекается в точках К и L. По ним строят горизонтальные К' и L ' и фронтальные К" и L « проекции искомых точек пересечения.

Зоны видимости участков прямой АВ. На фронтальной проекции точки К(К «) и L (?») видимы (они на передней полусфере). Следова;

Рис. 9.20.

Рис. 9.19

тельно, видимы и проекции лучей А «К» и L «В « прямой. Между точками К» и L «сфера закрывает прямую. На горизонтальной проекции видим луч L 'В' прямой (точка L находится на верхней полусфере). Слева от проекции L' горизонтальная проекция прямой закрыта сферой.

Построение точки пересечения прямой линии с тором (рис. 9.20). Построение выполняют, руководствуясь общим правилом. В качестве вспомогательной плоскости выбирают, например, горизонтально проецирующую плоскостьб (5'). Построение проекции линии пересе;

чения вспомогательной плоскости с поверхостью торар (р", р') начинают обычно с построения проекций характерных^[1] точек: / «, Г — крайней левой и 2″, 2' — крайней правой на основании тора и J», 3' — высшей точки. Для построения проекции 3 «проводят горизонтальную проекцию параллели тора, касательной к плоскости 5, и на ее фронтальной проекции находят проекцию 3 „. Проекции промежуточных точек линии пересечения, например точки 4“, 4', 5″, 5', находят с помощью параллели, проходящей через точку с проекциями К», К'. Построенные фронтальные проекции точек соединяют плавной кривой линией, точки пересечения которой М «и TV «с фронтальной проекцией А «В» прямой АВявляются фронтальными проекциями искомых точек пересечения прямой АВ с поверхностью тора. По ним в проекционной связи строят горизонтальные проекции М’и N' точек пересечения. Невидимый отрезок MN прямой АВ проведен штриховой линией.

• [1] Характерные точки — это высшие и низшие точки по отношению к плоскости Л|, ближайшие и наиболее удаленные по отношению к плоскости лг, точки, проекции которых отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой, крайниеслева и справа на проекциях линии пересечения.