Аналитический метод расчета цепей по первой и одной или нескольким высшим гармоникам

Основные этапы расчета следующие:

• 1) составляют систему дифференциальных уравнений цепи;
• 2) аналитически выражают характеристики нелинейных элементов и полученные выражения подставляют в дифференциальные уравнения цепи.

Искомую величину выражают в виде ряда, состоящего из первой и одной или нескольких высших или низших гармоник, например в виде.

Предполагаемое решение подставляют в уравнение системы. В результате этой подстановки оказывается возможным разбить уравнения системы на несколько трансцендентных алгебраических уравнений, составленных относительно амплитуды первой гармоники, амплитуд высших (соответственно, низших) гармоник и их фаз.

Число трансцендентных уравнений в общем случае в два раза больше числа учитываемых гармоник, поскольку для каждой из гармоник уравнение разбивается на два уравнения с синусной и косинусной составляющими.

Далее совместно решают систему трансцендентных уравнений. Трудность состоит в том, что каждое из трансцендентных уравнений обычно содержит все неизвестные. Поэтому при решении часто используют метод последовательных приближений.

Расчет этим методом, как правило, громоздок. Однако метод позволяет исследовать такие сложные явления в нелинейных цепях, как резонанс на высших, низших и дробных гармониках. Метод рассмотрен в приложении 9 (параграф П9.4).

Рассматриваемый метод в литературе называют также методом гармонического баланса. Частным случаем его является метод первой гармоники (см. параграф 15.47).

Расчет цепей с помощью линейных схем замещения

Этот метод применим к расчету нелинейных электрических цепей, на которые воздействуют постоянные и синусоидально изменяющиеся ЭДС, если переменные составляющие токов и напряжений относительно малы, например во много раз меньше соответственно постоянных составляющих токов и напряжений.

Последовательность расчета такова:

• 1) определяют положение рабочей точки на характеристике нелинейного элемента по постоянному току. В окрестности этой точки будет перемещаться изображающая точка под воздействием малой переменной ЭДС;
• 2) через рабочую точку по постоянному току проводят касательную к характеристике нелинейного элемента и производят замену участка его характеристики отрезком касательной;
• 3) составляют линейную схему замещения для расчета переменной составляющей. Вид схемы зависит от характера нелинейного элемента, а ее параметры — от тангенса угла, составленного касательной к характеристике и одной из осей координат.

ЭВМ применяют для:

• а) табулирования решений систем трансцендентных уравнений и систем алгебраических уравнений высоких степеней;
• б) табулирования решений, выраженных в виде медленно сходящихся рядов;
• в) интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, к которым сводятся нелинейные дифференциальные уравнения при кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов:
• г) численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, в которых ВАХ нелинейных элементов представлены аналитически, а также в некоторых других случаях.