Характеристики системы случайных сигналов

Процесс измерения характеризуется наличием множества случайных величин и событий, участвующих в формировании результата измерения. Помимо самой измеряемой величины сюда входят неинформативные параметры объекта контроля, параметры средства измерений, параметры окружающей среды и даже состояние потребителя измерительной информации. Их совокупное влияние на результат измерения выражается в том, что этот результат, полученный вновь при (казалось бы) неизменных условиях измерений, отличается от прежнего результата. Проводя повторные измерения и накапливая данные (статистику), можно, во-первых, составить представление о степени разброса результатов измерений и, во-вторых, попытаться выяснить влияние каждого фактора на погрешность результата измерений.

Если рассматриваются несколько (две и более) случайных величин х, у, z, …, го они образуют систему случайных величин. Такая система кроме перечисленных выше характеристик для каждой случайной величины в отдельности имеет дополнительные характеристики, позволяющие оценить уровень статистических связей между всеми случайными величинами, образующими систему. Такими характеристиками являются коррсляционные моменты (ковариации) для каждой пары случайных величин, К_ху, K_xz> K_yv …. Они вычисляются по формуле.

где /?_ар (а, (3) — двумерная ПРВ системы двух случайных величин, а и (3 (с математическими ожиданиями т_а и соответственно), характеризующая совместное распределение этих величин.

При отсутствии статистической связи между величинами а и (3 соответствующий корреляционный момент равен нулю (т.е. К_а^ =0). Такие случайные величины называются статистически независимыми.

При выполнении математических операций со случайными величинами, имеющими известные статистические характеристики, важно уметь определять статистические характеристики результатов этих операций. Ниже такие характеристики приводятся для простейших математических операций.

1. Математическое ожидание т_и и дисперсия D_u алгебраической суммы нескольких случайных величин и = x + y + z +… равны.

Если величины х, у_у z_y… статистически независимые, то D_u = D_x + D_y + + D_z + … .

В табл. 7.2 приведены формулы для определения характеристик суммы двух случайных величин. В этом случае и = х + у_у т_и = т_х + т_у, а дисперсия D_u и СКО о_и результата суммирования существенно зависят от величины относительного коэффициента корреляции суммируемых величин.

где g_x 4^Dx ' •.

Таблица 7.2

Статистические характеристики суммы двух случайных величин.

Равенство р_ху = 1 соответствует случаю, когда изменение величины х всегда влечет за собой изменение величины у и всегда в ту же сторону, что и х, т. е. Ах Ау > 0. Если знаки изменений этих величин всегда противоположны, то р_ху = -1. Наконец, если величины х и у имеют конечные дисПерсии и статистически не зависят одна от другой, то р_ху = 0. Обратное утверждение справедливо только для нормально распределенных случайных величии [2].

2. Математическое ожидание т_и и дисперсия D_u линейной функции нескольких случайных величин и = ахл-Ъу + сгл-…, где а, Ь_} с,… — постоянные коэффициенты, равны.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Если величины х, у, 2,… статистически независимые, то.

3. Математическое ожидание т_и и дисперсия D_u произведения двух независимых случайных величин и = ху равны.

4. Математическое ожидание т_и и дисперсия D_u произведения трех независимых случайных величин u-xyz равны.

5. Математическое ожидание т_у и дисперсия D_y случайной величины у = f (x)_} являющейся известной функцией непрерывной случайной величины х_у ПРВ р_х = р_х(х) которой также известна, равны.

Аналогично, если 2 = f{x, y) — известная функция системы двух непрерывных случайных величин х, г/, совместная (двумерная) ПРВ которых Рху ⁼ Рху (^х>У) известна, то математическое ожидание m_z и дисперсию D_z такой случайной величины можно определить по формулам.