Модель Вильгельма Лаунхардта

Историческая справка.

Вильгельм Лаунхардт (1832—1918) родился в Ганновере, учился, преподавал и был ректором местной политехнической академии, а после присоединения королевства Ганновер к королевству Пруссия, был членом прусской палаты лордов^[1].

В 1885 г. вышла его книга «Математические принципы экономики» ^{[2]. По мнению многих историков экономической мысли, это был первый учебник, соответствующий своему названию. С тех пор Лаунхардт считается основателем математической экономики.}

Вильгельм Лаунхардт — один из немногих современников Тюнена, которому удалось оценить работу последнего и представить его модель с помощью графиков Bid-rent функций.

Однако основной интерес Лаунхардта лежал в области ценообразования на железнодорожные перевозки и размещения фабрик, чему он и посвятил последнюю треть своей книги. Задачу размещения производства (позже названной «задачей трех точек») Лаунхардт сформулировал в виде произвольного треугольника, на двух вершинах которого находятся два источника сырья для фабрики, а на третьей — точечный рынок сбыта ее продукции. Нужно найти такое расположение фабрики относительно этого треугольника, при котором суммарные транспортные издержки доставки сырья и готовой продукции в пересчете на единицу готовой продукции будут минимальными. При этом известны стоимости перевозки и технология производства конечного продукта:

где X — вес сырья 1, требуемого для производства единицы конечного продукта; Y — вес сырья 2, требуемого для производства единицы конечного продукта; Z — вес единицы конечного продукта; а, Ь, с — соответствующие расстояния от вершин треугольника до места расположения фабрики в милях — переменные, по которым происходит минимизация.

Задача была впервые сформулирована и решена Лаунхардтом в статье 1882 г., причем сразу тремя способами: механическим и двумя геометрическими. Здесь мы рассмотрим механическое решение, а геометрические подробно разбираются в подпараграфе 2.1.3. Интуитивно Лаунхардт, видимо, понимал, что чем тяжелее сырье, тем ближе к нему нужно ставить фабрику при прочих равных условиях. Каждая точка треугольника как бы тянет к себе фабрику с силой, пропорциональной весу, который нужно из нее возить. Такой силой, пропорциональной массе, является сила тяготения, например, и тогда для нахождения равновесного положения можно использовать одно из устройств французского математика Пьера Вариньона (1654—1722) (рис. 2.3). Ведь минимизация транспортных издержек будет соответствовать минимизации суммарной потенциальной энергии треугольной системы грузов с массами, равными перемещаемым грузам (рис. 2.4). Если грузы отпустить, то система, согласно законам физики, сама придет в состояние минимальной потенциальной энергии. Если при этом один из грузов не перетянет оставшиеся два до упора, в равновесии точка соединения нитей, ведущих к каждому из грузов, т. е. местоположение фабрики, будет внутри треугольника.

Рис. 23. Устройство Пьера Вариньона^1.

Сырье 1 Сырье 2.

Рис. 2.4. Механическое решение задачи «трех точек» Лаунхардта.

Заметим, что Лаунхардт предполагал, что предложение труда во всех точках совершенно эластично по цене, так что в любой точке стоимость затрат труда будет одинаковой. Но даже в его времена это было сильным^[3]

допущением, если вспомнить работы Тюнена. Если следовать этой модели, то продукцию с высокой долей труда выгодно производить ближе к рынку сбыта, но, как правило, именно там труд заметно дорожает. Влияние рынка труда на выбор расположения заводов учел в своей модели другой немецкий экономист — Альфред Вебер (см. подпараграф 2.1.3).

Лаунхардт также исследовал общий случай задачи с п точками, но найденное решение, как выяснилось впоследствии, оказалось неверным. Современные итерационные алгоритмы позволяют очень быстро находить такие решения (см. подпараграф 2.4.1), в том числе при наличии непроходимых районов^[4].

Кроме задачи «трех точек», Лаунхардт исследовал модель с пространственно распределенным спросом и концентрированным в одной точке предложением (снова городским рынком, но уже в роли дистрибьютора промышленных товаров). Эти наработки Лаунхардта в дальнейшем были развиты В. Кристаллером и А. Лешем, о которых речь пойдет в параграфе 2.2.

• [1] 2 См.: Wilhelm Launhardt. URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Launhardt; http ?//www.wiwi.uni-hannover.de/wilhelm-launhardt-preis. html?&L=l (дата обращения: 12.02.2014).
• [2] См.: Launhardt W. Mathematical Principles of Economics / translated by H. Schmidt, editedby J. Creedy. Aldershot: Edward Elgar, 1993.
• [3] Launhardt W. Mathematical Principles of Economics.
• [4] См.: BrimbergJ., Hansen Р., Mladenovic N., Taillard E. D. Improvements and Comparisonof Heuristics for Solving the Multisource Weber Problem. Technical report IDSIA — 33—97,Operations Research 48 (1). 2000. P. 129—135.