Примеры решения задач

Задача 9.1. Фонтан Герона ⁹ (80 г. до н. э.). На рис. изображена конструкция одного из фонтанов. Резервуар R ь содержащий воздух и слой воды, соединен трубками с открытым резервуаром /?₃, заполненным водой, и резервуаром R ₂. От резервуара R ₂ отходит тонкая трубка, из которой бьет струя фонтана с уровня /?₄ = 1,55 м. Уровни воды в резервуарах, соответственно, равны h = 0,25 м, И₂ = 0,95 м, Л₃ = 1,35 м. Найти скорость воды на уровне h₄ и длину струи.

Решение. Пусть Р — давление в резервуарах R_] и R₂. Согласно уравнению Бернулли ро²/2 + pg// = const, параметры состояния воды на уровне h ₄ основания струи и уровне И-, поверхности воды в резервуаре R ₂ связаны уравнением.

Рассматривая частицы жидкости на уровне Л₃ в открытом резервуаре /?₃ и на уровне /? | в резервуаре R,, получим еще.

одно уравнение Исключая Р, находим.

Длина струи L — h _yL — 0,5 м, о = 3,132 м/с.

Задача 9.2. Два друга решили во время ледохода покататься на льдинах. Удержит ли их обоих льдина площадью 5= 1,5 м²и толщиной h — 50 см? Масса одного мальчика т = 28 кг, масса другого — т₂ = 32 кг. Плотность льда р = 0,9 г/см³, а плотность воды р₀ = 1 г/см³.

Дано: Решение. Максимальная выталкивающая сила.

S = 1,5 м² (сила Архимеда) действует на льдину, когда она ио;

h = 0,5 м грузилась полностью. Для наименьшей площади.

т = 28 кг льдины условие плавания определяется из равенства.

пь = 32 кг этой силы и силы тяжести, действующей на систему:

р = 9* 10² кг/м³

ро = 1000 кг/м Из этого уравнения находим:

е. _ ?

^Jmin.

Дано:

5= 1,5 м² И = 0,5 м т = 28 кг т₂ = 32 кг.

S > S’mm, т. е. льдина, которую выбрали друзья, их, к счастью, удержит.

Ответ: S = 1,2 м.

Задача 9.3. Водомер представляет собой горизонтальную трубу переменного сечения, в которую впаяны две вертикальные манометрические трубки одинакового сечения. По трубе протекает вода. Пренебрегая вязкостью воды, определите массовый расход, если разность уровней в манометрических трубках ДЛ = 8 см, а сечение трубы у оснований манометрических трубок, соответственно, равны S = 6 см" и S₂ = 12 см². Плотность воды р = 1 г/см³.

Дано:

ДА = 8−10³ м 5, = 6−10‘⁴ м² S₂= 1210‘⁴м² р = 10³ кг/м³

е-?

Решение. Массовый расход воды — это масса воды, протекающая сквозь сечение за единицу времени:

где р — плотность воды, о — скорость течения воды в месте сечения S2. При стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости выполняется уравнение неразрывности:

Уравнение Бернулли для горизонтальной трубы (h = h₂):

где Pi_f Р₂~ статическое давление в сечениях манометрических трубок; Hi, 1)2 — скорость течения воды в местах сечений S и S₂. Учитывая, что.

и решая систему уравнений (2), (3), получаем:

Подставив это выражение в (1), найдем искомый массовый расход воды:

Ответ: Q = 0,868 кг/с.

Задача 9.4. Определите площадь сечения S₂ открытого цилиндра, стоящего на ножках длиной h = 1 м, если через отверстие у его основания диаметром d = 2,5 см начинает вытекать вода и падает на землю на расстоянии / = 4,5 м от цилиндра. Высота столба воды в цилиндре Н= 5 м.

Решение. Пренебрегая силами трения, определим скорость о, вытекания воды из бака. Для этого воспользуемся кинетическим уравнением для горизонтально брошенного тела. Время падения:

Дано:

h i = 1 м / = 4,5 м </, = 2,5−10 ² м Н=5 м С. _ 9.

°min.

Запишем уравнение неразрывности для сечений S, и S₂:

где 5, — площадь отверстия; 1)2 — скорость опускания уровня воды в цилиндре.

Уравнение Бернулли для ссчсний S и S₂ имеет вид:

где, поскольку бак открыт, давления Р и Р₂ равны атмосферному давлению; h₂ ⁼ Л, + И.

Исходя из этого получим:

Ответ: 5, =44,2−10 ⁴

Задача 9.5. В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 50 см имеется малое круглое отверстие диаметром d = 1 см. Найдите зависимость скорости i)| понижения уровня воды в сосуде от высоты /; этого уровня. Рассчитайте числовое значение этой скорости для h = 20 см. д_ан0. Решение. Обозначим: S и S₂ — площадь попереч;

D = 0 5 м ^{ных сечени}й сосуда и отверстия, ь₂ — скорость вы гека- </=001 м ^{ния В}°Д^Ы из отверстия. h = 0 2 м Согласно уравнению Бернулли о = /№-?

В силу уравнения неразрывности.

Подставляя (2) в (1), получаем: отсюда.

Поскольку ct « D⁴, искомая зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты этого уровня Так как-то.

При h = 0,2 м числовое значение о, = 7,92 • 10 ⁴ м/с.

Ответ: о, = 7,92 • 10^-4 м/с.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 9.1. Шар равномерно падает в жидкости, плотность которой в 2,5 раза меньше плотности шара, испытывая силу сопротивления со стороны жидкости, равную 1,2 Н. Какова масса шара?

F

Ответ: т = —-г = 0,2 кг.

Я (1-Рж/Рт).

Задача 9.2. Металлический брусок плавает в сосуде, в который налита ртуть и вода. При этом брусок погружен в ртуть на ¼ и в воду на ½ своей высоты. Какова плотность металла бруска?

Ответ: р =^- +^- = 3,9−10³ кг/м³.

Задача 9.3. Аэростат, наполненный водородом, поднимается с ускорением 1 м/с². Масса оболочки аэростата с грузом 700 кг. Плотность воздуха 1,29 кг/см'. Определите объем аэростата.

Ответ: К =—_{= 6}47 м³.

Р"озд? — Рвод («+ я).

Задача 9.4. Определите натяжение нити, связывающей два шарика объёмом 10 см³ каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Масса нижнего шарика в три раза больше массы верхнего шарика. Плотность воды 10³ кг/м³, g = 10 м/с².

Ответ: Т

pgV _ 1000 10 10.

8 8.

= 12,5 • 10~³ Н.

Задача 9.5. Тонкая палочка шарнирно закреплена одним концом и опущена свободным концом в воду. Определите плотность палочки, если равновесие достигается, когда в воду погружена половина палочки. Плотность воды 1000 кг/м³.

Ответ: р_п ⁼«Р_В ⁼ 750 кг/м^-5.

Задача 9.6. Резиновый мяч массой 200 г и объемом 220 см³ погружают под воду на глубину 3 м и отпускают. На какую высоту (в метрах), считая от поверхности воды, подпрыгнет мяч? Сопротивление воды и воздуха при движении мяча не учитывать. Плотность воды 10³ кг/м³.

Ответ: Н = hi -1 ] = 0,3 м .

Задача 9.7. Вода течет по круглой гладкой трубке диаметром d = 5 см со средней по сечению скоростью = 10 см/с. Определите число Рейнольдса Re для потока жидкости в трубе и укажите характер течения жидкости.

Ответ: Re = Р ^ _ 5000 (г| - динамическая вязкость); П движение турбулентное, т. к. полученное число Рейнольдса.

Re > Re_Kp (Re_Kp = 2300).

Задача 9.8. Медный шарик диаметром d = 1 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле. Является ли движение масла, вызванное падением шарика, ламинарным? Критическое значение числа Рейнольдса Re_Kp = 0,5.

Ответ: Re = ^²^—^²^ = 4,17 (pi и р₂ — плотность меди 18г|²

и масла; т| - динамическая вязкость масла); т. к. полученное число Рейнольдса Re > Re_Kp, движение турбулентное.

Задача 9.9. Латунный шарик диаметром d = 0,5 мм падает в глицерине. Определить: 1) скорость ь установившегося движения шарика; 2) является ли при этой скорости обтекание шарика ламинарным?

Ответ: 1) г> =——=6,71 i i /п 18rj.

• (pi и р2 — плотность латуни и глицерина; г| - динамическая вязкость глицерина);
• 2) обтекание шарика ламинарное.

Задача 9.10. При движении шарика радиусом г = 2,4 мм в касторовом масле ламинарное обтекание наблюдается при скорсоти г>₂— При какой скорости шарика радиусом = 1 мм в глицерине обтекание станет турбулентным?

Ответ: и₂ ^{= Р| 2} и, = 27,7 ni /п (р, и т. п. — плотность.

P₂Vi

и динамическая вязкость касторового масла;

р₂ и г|₂ — то же для для глицерина).

Задача 9.11. В трубе с внутренним диаметром d = 3 см течет вода. Определить максимальный массвый расход Q,"_{ч тах} воды при ламинарном течении.

Ответ: Q_m,_mta = (¼)тсг| Rc_Kp d = 54,2 г/с (rj — динамическая вязкость масла).

Задача 9.12. В горизонтально расположенной трубе с площадью Si поперечного сесения, равной 20 см², течет жидкость. В одном месте труба имеет сужение, в котором площадь S2 сечения равна 12 см". Разность Ah уровней в двух манометрических трубках, установленных в широкой и узкой частях трубы, равна 8 см. Определить объемный расход Qv жидкости.

Ответ: Q =5,и, = 1,88 ё/п.

Задача 9.13. Масляный гидравлический пресс имеет площадь левого поршня S, = 20 ni «, правого — ЮОсм^. На какую высоту опустится левый поршень, если на него поставить гирю массой т = 1,5 кг? Плотность масла р = 0,9 г/см³.

Ответ: Ah =--А—г- = 69 ni .