Основные понятия теории теплопроводности

Рассмотрим вещественную среду, в которой осуществляется процесс распространения теплоты теплопроводностью. Как было указано, для возникновения процесса теплопроводности необходимо наличие разности температур в различных точках среды.

Совокупность значений температур в данный момент времени для всех точек рассматриваемой среды называется температурным полем. В общем случае уравнение температурного поля имеет вид.

где t — температура среды; х, у, z — координаты точки среды; т — время.

В том случае, когда температура t зависит от времени т, температурное поле называется нестационарным. Если температура в любой точке среды не зависит от времени, то температурное поле называется стационарным и описывающее его уравнение будет иметь вид.

т.е. стационарное температурное поле является функцией только координат. Для такого поля dt/dт = 0.

Поскольку температура является скалярной величиной, то температурное поле является скалярным полем.

Геометрическое место точек, имеющих в данный момент времени одинаковую температуру, называется изотермической поверхностью и описывается уравнением При нестационарном температурном поле изотермические поверхности с течением времени изменяют свое положение в пространстве. При стационарном температурном поле уравнение изотермической поверхности.

т.е. ее вид и расположение в теле остаются не зависящими от времени.

На рис. 7.1 схематически представлено сечение тела с нанесенными через интервалы At изотермами. Вдоль всякого произвольного направления /, не совпадающего с изотермой, температура изменяется. Наименьшее расстояние между двумя изотермическими поверхностями будет в направлении нормали п к изотермической поверхности (точка А на рис. 7.1).

Предел отношения изменения температуры At к расстоянию Ап между изотермическими поверхностями, измеренному по нормали к ним, называется температурным градиентом:

Температурный градиент является вектором, совпадающим с направлением нормали к изотермической поверхности. Принято считать grad t положительным, если он направлен в сторону возрастания температуры {ВС на рис. 7.1).

Рис. 7.1. К определению температурного градиента.

Для отдельных точек тела (а в общем случае и для различных точек одной и той же изотермической поверхности) температурный градиент различен не только по направлению, но и по по величине. Совокупность значений температурных градиентов в различных точках температурного поля образует векторное поле температурных градиентов. Температурное поле полностью определяет иоле градиентов, так как направление последних должно совпадать с касательными к кривым, нормальным к изотермическим поверхностям (рис. 7.2), а значения их обратно пропорциональны отрезкам между двумя смежными изотермическими поверхностями. Эти нормальные к изотермам кривые носят название линий теплового тока. Вектор grad t всегда направлен, но касательной к линии теплового тока.

Рис. 7.2. Изотермы и линии теплового тока.

При изучении процессов теплопроводности в твердых телах экспериментально установлено, что количество теплоты, проходящей через элементарную площадь изотермической поверхности за элементарный промежуток времени, пропорционально температурному градиенту, элементарной площади поверхности и промежутку времени:

где 8Q — элементарное количество теплоты, Дж; X — теплопроводность материала тела, Вт/(м • К); grad t — температурный градиент, К/м; <7/1 — элементарная площадь, м²; <7т — элементарный промежуток времени, с.

Уравнение (7.6) называется уравнением Фурье, несмотря на то что впервые предположение о форме этой зависимости было высказано французским ученым Ж. Б. Био.

Теплопроводность является теплофизическим параметром, характеризующим способность вещества проводить теплоту.

Отношение количества теплоты, проходящей через заданную поверхность, ко времени называется тепловым потоком. Тепловой поток обозначают Ф и выражают в ваттах (Вт). Отношение теплового потока к площади поверхности называют поверхностной плотностью теплового потока, обозначают буквой q и выражают в ваттах на квадратный метр (Вт/м²).

Тепловой поток и поверхностная плотность теплового потока являются векторами, направленными, но нормали к изотермической поверхности в сторону, противоположную температурному градиенту. Вектор поверхностной плотности теплового потока.

где п — длина нормали к изотермической поверхности.

Знак «минус» в уравнении (7.7) указывает на то, что вектор q направлен в сторону, противоположную направлению вектора grad? (см. рис. 7.1).

Тепловой поток Ф, прошедший сквозь изотермическую поверхность площадью А,