Математическое ожидание как мера риска

Ниже опишем способ построения меры риска, для которой будут выполняться свойства монотонности, субаддитивности, положительной однородности и инвариантности относительно сдвига. Пусть s_v …, s_n — некоторые состояния природы (сценарии), а значения убытка ^ определяются через некоторую функцию-решение V (s,) = 4/. Пусть заданы физические вероятности сценариев p_v Математическое ожидание Е(?) как мера риска обладает, в некотором смысле, уникальными свойствами.

Рассмотрим дискретную случайную величину принимающую конечное число значений ?,…, с вероятностями p_v Математическое ожидание представляет собой линейную функцию.

Математическое ожидание аддитивно: не только для независимых, но и для любых случайных величин? и г для него выполняется Е (5, + г) = = Е (Е) + Е (г(). Кроме того, оно удовлетворяет условию сохранения масштаба: Е (Х%) = А. Д5). Такими же свойствами обладает любая линейная функция, т.с. математическое ожидание, взятое не по набору физических вероятностей, а по набору произвольных весов, обладающих свойствами вероятностей (они должны быть неотрицательными и суммируемыми к единице).

Припишем состояниям природы s, произвольные неотрицательные веса.

п

ⁿi^{= n}i (^si)> X л, ⁼ 1- Тогда функция.

i=

обладает теми же свойствами аддитивности и сохранения масштаба, что и математическое ожидание Е{?). Набор состояний природы и их весов здесь фиксирован. Эту схему можно использовать для построения мер риска, подбирая веса определенным образом. В статье Ф. Артзнера был доказан следующий результат^[1].

Утверждение Мера риска р (^) является когерентной мерой риска тогда и только тогда, когда для некоторого множества наборов весов П.

• [1] ArtznerPh., Delbaen F, EberJ.-M., Heath D. Op. cit. P. 203—228.